Remarque. — Le déterminant
yii /il • • • //M
y u yii • • • /ni
Jln fin • • • Jnn
( ■ ) Voici explicilctnenl ces équations :
/.. = ?',"^n + Ç'/'e„ -+-...+ lif'e,,,
/*. = I'.'"ei.+ ?'/'<?«-+-... 4- ?',f'^«,-
et
^\'^ = fnfsi -4-/1Ï/52-+- . . . -hfujsn,
Ç'/^ = /it/ri -+-/îî/rt -+-...-»- /a/i/j« ,
5/ —fnlfsi -^ Juif si -^ • • '-hfnnfsn'
(>) On peut se rendre compte de ce détail de la façon suivante. On a
et, par la substitution (^i, e,, . . ., ^/» I ^isi ^t*» • • • > ^/i*)» on obtient /y,, de sorte (|u à cette substitution correspondent les diverses substitutions
(/ll/u), ifilfis), ..., (fn\fns)
OU simplement
(9' ) n'est pas nul ; car on a, d'après une propriété connue des déterminants réciproques (*),
d'où
zz^e'*-y
1 14. Relations entre les deux bases, — Ces relations sont très connues et se tirent d'ailleurs de suite des équations (53) en écrivant qu'elles deviennent identiques lorsqu'on y remplace ^,, ?2f •••» ^.n ^^^ leurs valeurs déduites des équations (54)» ou encore en écrivant que les équations (54) deviennent identiques lorsqu'on y remplace x\, œ.,, ..., Xn par leurs valeurs déduites des équations (53).
On a alors
d'une manière générale :
^\pj\fl "^ e%pj^q -h . . . -}- ^nqjnq —
On a aussi
^p\fq\ "*" ^p^fq^ -h ... -h ^pnfi
qn
( O si p^q.
l si /> =:= (/y O SI p^ q.
En posant
on pourra écrire
I SX p— 7,
o si /? 7^ y,
(UO) (i\pf\q-\- ^tpftq~^ ...-+- enpfnq — ^p\fq\ "*" ^pijqt~^ ... 4" ^pnfqn — KPi 7/*
115. Du changement de base. — La base e^, ^2» • • •» ^« ^^^ définie au moyen des/i^ quantités du Tableau E et des substitutions (5o); on peut
(}) On se rappelle (n** MO) que eftj est le mineur du déterminant e», correspondant à l'élément eij.
(9^ ) remplacer cette base par une autre c,, c^, ..., ^« équivalente, c'està-dire telle que tout élément .r de TEnsemble € puisse s'exprimer sous la forme
cT — Çi Cl -+- sj <^2 "H . . . -h S /i ^n 1
et cela d'une seule façon, pourvu que c,, Cj, ..., c,^ soient n éléments de l'Ensemble £ convenablement choisis : ils seront convenablement choisis, si le déterminant de leurs coordonnées n'est pas nul. Si, en effet, on a
avec
C,f — e, //li,| -h 6^fH^,^ + ...-+- ef^Iflfln7
nin m2i mi2 /«j2
m ni
ni
in
nn
on en déduit immédiatement et d'une seule façon
e2r=/?2ïC,-i-/?2jCjH-.
P\n ^tti Pin ^nt
€fi — p„ i Cj H- Pn^ C2 -f- . . . -f- pnn ^n >
valeurs qui, portées dans
4/t ^nt
permettent d'exprimer iT sous la forme (64), et cela d'une seule façon. Quant aux n valeurs dont est susceptible la quantité multivaleute cj, on les obtient de suite en effectuant dans
Cj 3= e, m ly -H e, /Wjy -+-... -f- Cn m„j
les n substitutions (5o); on pourra donc former le Tableau (] des. n^ nombres cy„ ainsi que les n substitutions analogues aux substitutions (5q). Le déterminant formé avec ce Tableau sera forcément différent de zéro; en effet, d'après le n^ IH, un élément quelconque de
l'Ensemble t ne peut être nul que si toutes ses coordonnées sont simultanément nulles; on en déduit sans peine que, dans Thypothèsc (GG), une relation de la forme
(67) X,Ci-h>.,c,-i-. . .4-X„c«=o
est impossible, si Ton n'a pas X, = X2 = . . . = X„ = o. Les n relations dont la relation (G7) tient lieu sont donc aussi impossibles dans le même sens : c'est dire que le déterminant formé avec le Tableau C est différent de zéro. c. 0. f. ».
116. Base normale. — Effectuons un changement de base au moyen des formules
qui remplissent bien la condition voulue, savoir : que le déterminant des coordonnées ne soit pas nul (n° 113).
La nouvelle base formera la base dite normak. Les n substitutions de ce système multivalent sont
(Cl, Cj, . . . j Cfi I c^s} e^gf . , . <, Cns) (.^ ^^^^ ' > 2, . . . , /i ).
117. Première propriété de la hase normale. — Elle consiste dans l'égalité
j I SI p = q.
Effectuant dans (68) là substitution
\^l» ^ÏJ • • •» ^/* I ^l/>> ^ipy • • •» e„p),
nous aurons Cçp dans le premier membre, par définition, et dans le deuxième (/?, 7), d'après la formule (63).
