Deuxième propriété. — Elle consiste dans les égalités

\ CpCgZzno si p^q.

\ CpCg-^^Cp SI p-=q.

Enefl'et(68)

Cp Cg — iej^p -f- Cî/îp-H . . . -h e„/„p) (e, /i^ + e^f^g -f- . . . f- e„f„g).

Or, en elFectuant au deuxième membre les n substitutions (5o), on obtient constamment pour valeur o, lorsque/? diffère de y; et, lorsque p z= q, la seule substitution

fait prendre au deuxième membre la valeur i, tandis que les autres lui donnent encore la valeur zéro.

Actuellement, si/?^y, les n valeurs que prend le produit c^c^ par les n substitutions ( :)o) étant nulles, le produit lui-même est nul, car l'égalité

Cj, Cq = o

ne signifie pas autre chose (n'^ i09).

Si /? — y, les n — I valeurs

que prend le produit sont nulles, mais on a la valeur

pour i = p. Or on a de même (première propriété)

Cpi = o pour / = 1 , 2 , . . ., p — I , /? -H I , . . ., n

et

Cpp — I *

r/égalité

\CpCp )i^^^ Cpi

subsiste donc pour toutes les n substitutions; donc

1 19. Expression d'un élément quelconque x de V Ensemble & au moyen de la base normale. — On a

Remplaçant les coordonnées Ç par leurs valeurs tirées des équations (5/|) et ordonnant, par rapport aux quantités .r,, x.,, ..., x„^ on

trouve

-^ = (<?i /] I -H- «2/21 4- ... 4- e„ fnx)^\ 4~ \^\ f\l 4~ ^2/22 -h ... -h (^nj/tij'^'î

OU, d'après (Grt),

On peut donner aux quantités CiXi le nom de composants de ^s suivant l'expression de M. Weierstrass. On retrouve maintenant avec facilité leurs diverses propriétés au moyen des formules (6<)). Ce que nous avons dit dans les deux premières Parties de ce travail nous dispense d'insister davantage.

120. Le fait capital ici est que, du système des n} nombres E, nous avons déduit l'expression des éléments de l'Ensemble &, au moyen de leurs composants, de sorte que ce système des nombres E peut être regardé comme un vrai fondement de la théorie des quantités complexes.