CHAPITRE IL
DE CERTAINES ÉQUATIONS DE CONDITION QUE L'ON RENCONTRE DANS LA THÉORIE DES QUANTITÉS COxMPLEXES.
Recherche des solutions de ces équations au moyen du système £.
121. Parmi les fonctions entières des quantités multivalentes e^, ^2» •••» ^n^ les plus simples sont les produits de ces quantités deux à deux : d'après ce qu'on a vu au n"^ 110, chacun de ces produits s'exprime linéairement au moyen des quantités multivalentes ^,, e.y, . . ., e„ elles-mêmes; on peut donc écrire, par exemple,
Pour déterminer les coordonnées e<^^, £2^^, ..., ê,,^^, on se servira des équations (54); en observant qu'on a ici
on trouvera
( 7 ' ) ^rpq ^^^ Jn ^p\ ^q\ ~^Jri ^pt ^qt ■+"••• -^ Jrn ^pn ^qn ( ''j /^î 7 "^ ^ > -^J ...,//).
122. Actuellement, recherchons si le théorème commutatif et le théorème associatif exprimés par les égalités
ab = ba,
{ab)c=i (ac)b
ont lieu pour les quantités multivalentes ^,, ^2, . .., e^. Pour vérifier ces propositions, nous serons évidemment conduits à écrire les mêmes conditions que nous avons déjà trouvées dans la I"* Partie (n^* 9 et 10),
savoir :
(7'^-) et
^rpq — S
rqp
^\pq ^Xlr "H ^tpq ^klr •+■..♦+ tnpq ^kni ^\pr ^A-l^"^ ^ipr ^klq~^ ... -h Snpr^knq*
Nous écrirons les conditions de cette dernière forme en profitant des conditions (72) supposées remplies, c'est-à-dire
( 7^ ) 2y ^Jpq ^krj =^ 2y tjpr ZkqJ ( * )•
Ce sont les équations (72) et (78) que nous avons voulu désigner par le titre de ce Chapitre.
123. Il est facile de reconnaître que les valeurs données aux trp^ par la formule (71) satisfont aux équations (72) et (73) et en constituent dès lors un système de solutions.
En premier lieu, observons que dans les égalités (71) il n'entre aucune quantité mullivalente, mais seulement des quantités ordinaires; il est donc permis d'intervertir l'ordre des facteurs de chaque terme;
(^) En général, la lettre 1 affectée d'un indice signiûera la somme des termes déduits de Texpression soumise au signe l en donnant ù cet indice les valeurs i, 2, . . ., /i. les autres indices restant fixes.
dès lors, la symétrie par rapport aux deux indices/^ et q montre immédiatement que
^rpq — ^rqp'
124. Pour former les sommes qui entrent dans l'égalité (73), j'effectue le produit
^Jpq ^krj ^= ( fj\ ^p\ ^qi "+" JJi ^p% ^ql -+-... "h Jjn €pn ^qn) X (/*! ^rl «yi -H fkt «n eyi -h . . . -h fkn ^ra ^Jn)\
en groupant dans chaque terme les facteurs qui contiennent l'indice y, on a, pour le produit, la valeur suivante, que j'écris sous forme de Tableau :
ÊypçSAry =/yi «yi^pi «y| ^ri/lfcl -^fjï ^Jl^pl ^qi ^r\fk\ H" • • • "^/yl ^y/i ^p\ ^q\ ^rnfkn
-^fjl ^jX^pt ^q% Cr\fk\-^fj% ^Ji^pt Cqt er\fk\ + • • • "H/yî ^jn ^p\ ^ql ^rnfkn -h
'^fjn ^Ji ^pn ^qn ^r\fk\ ~^fjn ^j\ ^pn ^qn ^rtfk% "H • ■ • ~^fjn ^jn ^pn ^qn ^mfkn •
A cause des formules (62) et (63), les seuls termes du Tableau précédent qui donneront des termes dans la somme
seront ceux de la diagonale descendant de gauche à droite, et l'on aura
^J ^JPÇ ^krj ^^^ ^pl ^ql ^r\ J k\ "+" ^pt Cq\ €r% Jkt -f- • • • H" ^pn ^qn ^rn Jkn •
Cette formule est symétrique par rapport aux indices/?, q, r; par conséquent, si Ton calculait la somme
on lui trouverait la même valeur. Ainsi les nombres e^^ déduits du système E par la formule (71) satisfont bien encore aux conditions (73).
125. Remarque J. — Il est évident, d'après ce qui précède, que Ton pourra trouver une infinité de systèmes de solutions des équations (72) et (73). I! suffira pour cela de partir successivement de divers systèmes de n^ nombres dont le déterminant ne soit pas nul.
Remarque IL — On a noté dans la I"' Partie (n^ 8) que la définition B. i3
des unités principales de M, Weierstrass reposait véritablement sur le choix des nombres e^.^. Nous venons d'obtenir ici un moyen simple de trouver des nombres trpq convenables, et c'est en cela même que consiste une des conséquences les plus remarquables du Mémoire de M. Dedekind, puisque par là nous pouvons effectivement former autant de systèmes de quantités complexes que nous voulons.
Calculs auxiliaires.
126. Dans le § I de ce Chapitre, on a montré comment l'on pouvait toujours d'un système quelconque de n^ nombres, dont le déterminant n'est pas nul, déduire un système de solutions des équations (72) et (73). Il serait intéressant de savoir, en outre, si tout système de solutions de ces équations peut effectivement se déduire d'un tel système de n} nombres; mais, pour répondre à cette question, nous avons besoin de calculs préliminaires assez considérables : ces calculs feront l'objet du présent paragraphe ( * ).
Nous supposerons maintenant que nous avons trouvé un certain système de nombres t^pg vérifiant les relations ( 72) et ( 73); de sorte que, dans ce qui suit, on doit toujours considérer ces nombres Zrpq comme connus.
