Nous posons

Op —

2y ^jpji

'^pq-

-'^qp'

CXy Bjpq,

Tll

Tis

TlH

Tîl

Tî,

On supposera toujours A ^z^o.

Nous introduisons aussi certaines fonctions, soit linéaires, soit qua-

(1) Afin que le lecteur puisse plus facilement suivre ces calculs, nous avons groupé les formules dans un Tableau placé à la fin de ce travail.

(99) dratiques, de n variables absolument indépendantes Ç,, $2, ..., Ç^- Ce seront les fonctions y];., yj^j, a, t, T;. (r, 5= i, 2, . .., n). Voici leurs définitions :

(77) 1f\r^^i^j^rijli\h

( 78 ) Y},., 1=: ^ =: iy e^,y Çy,

(79) Cr=: iyiriyy,

(80) 2T— 2/2yT|y£/Çy

128. En vertu de la condition (72), on a De (77) et (78), on tire

2 Yî;. = 2/ 2y £;./y ^,- $y = 2/ \i Ij EyiJ Ij = 2/ $/ Y) w-

De (79), (78) et de (74)» en tenant compte de (72), on tire

<7 = Jti i)ii = 2| 2y £/iy Çy i= 2y Çy 2; S/iy = 2y ^y 2/ £/y/ — 2y <7y Çy.

De (80), (75) et (77), on tire

2T = li Ij Tij ^i Ij — ^i Ij Ik CTa- e^ij Ç; Çy := 2^- C^Ar 2; Ij tkij li Ij = Ik (Tki^flk)'

De (81), (75) et (78), on tire

T;. r= 2,j T,.y £y ^=: 2y 2 A- 0"* ^krj Çy = 2^. C'a- 2y £>ti7 ?y ^= ^a- O'a- YÎAr ^= 2 a- <J/. -p- •

Donc nous avons les quatre nouvelles formules

(83) 2r),. =i2/J/Trîr/,

(84) <7^.1jtJj^j,

(85) -z — ljfjjfij,

ôr\j

( 86 ; 7,. — 2y (7y Tijr — 2y CXy

129. Dans ce qui suit, nous désignons par r/, rf', .., o, o,, ..., ô,„ . diverses caractéristiques de différentiation.

( 'oo )

De (78), on tire

drirs = ^J ^rsj dEj-

De (77), en profitant en outre de (87) ou de (78) et tenant compte des conditions (72), on tire

2dinr = ^i ^J trij li dlj -+- 2/ 2y £;./y £y dt,i = 2 2,- 2y £,.,7 Ç/ ^Çy =: 2 2,- J,- 2y £,.|y dlj = 2 2,- Ç/ df]ri

=: 2 2y ^^y 2/ erij Ij ~ 2 2y ûf£y y),.y,

Donc, en ajoutant encore les formules qu'on tire directement de (8 1), (86), (85), on a les formules

df\,.s

df\r

dn,.

ItjtySjdij,

^jljdrirjy Ij-nrjdcjy

Ij <jj dfij,., ^jfjjdrij.

Remarque. — Il est clair que Ton aurait obtenu les mêmes formules en employant une caractéristique de différentiation autre que d\ afin d'abréger, lorsque je serai obligé de changer ainsi la caractéristique, je l'indiquerai en ajoutant au renvoi le signe *.