Les conditions (72) et (73) conduisent à la relation
Ij dokj d'Tijp — Ij d'-Okj drijp.
OÙ d et d' sont deux caractéristiques indépendantes l'une de l'autre.
On a en effet (87) et (87*)
2y draj d' r^jp — Ij 2/ Ig t^ji dlj tj^q d'I^,
2y d'-f]kj dnjf, — Ij 2/ Iq Ekjq ^'Çf/ tjpi dli.
Substituant ces valeurs dans (93), tenant compte des conditions (72) pour permuter certains indices et faisant tout passer dans le premier
( «o. ) membre, on a
expression effectivement nulle, en vertu des conditions (73). Le calcul fait montre aussi que la formule (gS) peut s'écrire
(93') 2y li Iq t^ji tjpq d^i d'^q = Ij 1( Ig tkjq Ijpi d' ^g ûÇ/.
De (93), on tire successivement
Ij drikj d'-fijp i,p = Ij d'-nkj dïijp Ip, Ip Ij drikj ^'fljp Ip = 2p Ij d'rikj drijp ^p, Ij dfïkj Ip Ip d f\jp =z Ij d f\kj Ip \p dfijp,
et, d'après (88*) et (88),
Ij drikj d'fij = Ij d'fikj df\j.
De (93), on tire successivement
2y df\kj d'fljp d/c = Ij d'n/ej df]jp fJky
2* 2y o"* df\kj d'fljp = 2* 2y dk dfikj dnjp, Ij drijp Ijt (Jk dr\kj = 2/ dnjp lék dk df\kj,
et, d'après (91) et (91*),
2y d'f\jp drj = 2y dnjp d'-Cj.
Profitant de ce que les variations rf'Ç,, rf'Çj, . . ., rf'^;,sont arbitraires pour les prendre égales respectivement à Ç,, ^2, . . ., Ç;,, on tire successivement de (93'), (78) et (87)
Itj Iti 2y tkji ^Jpq \q d^i = .2y 2; Iq Bkjq tjpi ^q d^h 2y 2/ ekji d^i Iq Zjpq ^q = 2y 2/ Bjpi d^i iq Ekjq ^qy
2y 2/ Skji dli fïjp = Ij li sjpi d^i rikji
Ij rijp 2/ tkji di^i z= Ij rikj li tjpi d^h
Ij f)jp drikj = ^j fikj drijp.
En résumé, nous avons les formules
( 93 ) Ij drikj d rijp = 2y drikj drijp,
(94) Ij drikj drij =lj drikj drij,
(95) Ijdrijpdxj ^zljdrijpd'Tj, ( 96 ) ^J f^jp d'^kj — 2y rikj drijp.
131. Actuellement, définissons n variations SÇ,, S^a, ...,5?» finies par les équations
La chose est possible, car, par hypothèse, le déterminant de ces équations, qui est A, n'est pas nul (n^ 127).
De (90*), on conclut
De (95*), (98) et (91), on tire
( 99 ) ^j dxj d-njp = Ij dnjp Szj — Ij <7j dnjp— dxp .
Maintenant supposons écrites les formules déduites de (90) en donnant à ries valeurs i, 2, . . ., /i; observons que les variations rf^^, rf^j, .., rfÇ„ étant absolument arbitraires et le déterminant A différent de zéro, les variations correspondantes rfT|, rfTa, ..., d'Zn sont linéairement indépendantes, nous concluons alors que la formule (99) ne peut subsister sans être identique; on a donc
àripq = si /? ^ ^, àf]pq =z I si /> = <7
ou, d'après une notation déjà employée (n** 114),
(100) dr)pg={pyq).
On tire de (88*) et (100)
(loi) drir = Ij Ij if\rj — Ir-
On tire de (92*), (loi) et (84)
àz ■=: Stj (Xj ÔYJy == 2y C'y E,j = 0".
En résumé, ayant défini SÇ,, S^^, ..•, S^^ psir l^s formules (97), on a
(98) drr=(Jry
(100) àf\pq = {p,q)y
(loi) 5yî,. = Ç,.,
132. Des calculs précédents résulte cette conséquence importante, que pour tout système de nombres t^pq vérifiant les conditions (72) et (73), et de plus tel que A ne soit pas nul, le déterminant
(io3)
f\n\ TQ/iS
tî
nn
n'est pas identiquement nul.
Si, en effet, on attribue respectivement aux variables ^1, ia» •••» ^/i l^s valeurs SÇ,, 8^2» ...,8?« définies tout à l'heure, il devient, d'après (100),
(io4)
^flnl ^^«j • •
on
nn
Remarque I. — En remplaçant ^,, ^2» •••> ^n respectivement par p^, P2 »•■•»?»» on reconnaît que le déterminant ç est précisément le mémo que le déterminant e considéré dans la première Partie de ce travail (nM5).
Dans ce qui suit, nous supposerons qu'on ne donne pas aux variables ^1 , ^2, . . . , ^n des valeurs annulant ç.
Remarque If. — ç est une fonction homogène du /i*^"* degré des variables $,, $2» •••» ^n'i observant donc que Si<, S^a» •••» ^^n «ont des constantes déterminées, que y]/y est linéaire et que, par suite,
dP-^^f]ij^::0 pour p^l.
On voit que o"ç se réduit au déterminant (io4) répété 1.2.. ./i fois, de sorte qu'on a
(io5)
i33. Introduisons de nouvelles variations définies par la formule
^p+l?r = ^pTOr
pour toute valeur entière positive, nulle ou négative de l'indice p, et
( io4)
convenons d'ailleurs que ^o désigne la caractéristique S que nous avons déjà rencontrée (n** 131).
De (94*). on tire
D'après (106), (87), (72)^(87*), on a
Ij df)kj àp rij = Ij df\kj ip-hi Ij = 2y 2/ Bkji d^i àp^i Ij = 2/ d^c Ij Zkji dp^\ Ij = 2| di^i Itj tkij dp-¥ I Çy = 2| d^i àp^x fiki ;
donc enfin
(107) 2y àpfikj drij = Ij dr\kj àp^^ Ij = Ij d^^., rik/ dlj.
D'après (89), on a
2y èp rikj df)j = Ij dp fïkj ^ifiji dli = li dli Ij r\ji dp nkj,
et, comme les variations rf^,, rf^a, .. ., d!^^ sont arbitraires, l'identification du premier membre de la formule (107) avec le dernier donne
dp^i fiki = 2y fiji dp fikj
et, à cause de (96*),
(108) dp^i f\ki = Ij riji dp riAj = Ij f\kj dp -njt.
Faisant /> = — i, on a (100)
do'rïki = dnki^(fc, i)
et par conséquent
(109) ^j'njid-inkj = lj-nkjd-i'nji=z (A-, i).
