La formule (108) pour/? = o, combinée avec (100), donne
di riki = Ij f\ji d^ rikj = 2y lOy/ dfikj = 2y riji{k,J) rzi f\ki ;
dès lors, la formule (ïo8) peut s'écrire
( 1 1 0) dp^x riki = 2y di r\ji dp r\kj,
ot cela pour toute valeur entière, positive, nulle ou négative de p. D'une manière générale, on aura
(m) dp^g f\ki — Ij dp fikj dg nji.
Cette formule vient d'être démontrée quand on a y = i; elle est évidente pour y = o.
Si Ton admet qu'elle soit vraie lorsqu'on y remplace l'indice q par l'indice y — i, elle sera vraie aussi pour l'indice q lui-même; car, en remplaçant dans (i lo) p par/? -h y — i, on a
et, en vertu d'abord de l'hypothèse, puis de la formule (i lo),
Op^g riji-i = Ij <5, riji Is ^p flks ^q-\ f\sj = 2, 5p f]ks 2y 3, Tïji dg.i Tisj =: 2, àp r\ks àq fïsi = 2y ^p fïkj àq f\ji.
La formule (i 1 1) est ainsi démontrée pour les valeurs entières, positives ou nulles de q et pour toute valeur entière de/?.
Pour établir que l'on peut aussi admettre des valeurs négatives de y, je suppose la formule (i 1 1) exacte pour une valeur de y, et je démontre qu'elle l'est encore pour la valeur y — i . Acet effet, je remplace p par /? -h 7 — I dans (io8) et j'en conclus
d'autre part, par hypothèse, on a
àp-i-q r\ki = 2y àp rikj Og riji
ou, d'après (io8),
Op^q riki = 2y dp f\kj 2, f\si d,,, f]js = 2, yî,, 2y «5^ n^j àq-i r\js»
Égalant les deux valeurs de S;,+^ir)^/, on a
^5 f\si dp-^q-\ "Oks = 2, Tigi 2y Sp Tj^.y 5^, fljg
OU
^sfïsi(àp+ç-i -Oks— 2y <îp Tn*y àg-i r)js) — o ;
écrivons les n relations semblables, obtenues en donnant a i les valeurs I, 2, ..., /i. On voit qu'elles ne peuvent subsister que si Ton a séparément
dp-^q~\ "^ks 2y àp f)kj àq-x fijs = O
pour chaque valeur de^; cela résulte, en effet, de ce que le déterminant ç n'est pas nul (n*^ 132, remarque 1).
Ainsi la formule (m) est absolument générale.
( «06) J35. De (i 1 1) on tire
^i àp+q t)jt|- = 2y dp f]kj iq f\ji Si >
2i il àpi-q f\ki — 2* 2y dp r\kj àq fiji S/ = Ij dp rikj 2/ $,• àp -nj,,
OU, en a|)pliquant à chaque membre (88*),
(i 12) dp^q'f\k-=^jdpf]kjdq-r\j
ou encore
et, d'après (ro6),
( I I 3 ) dp^q Ik = 2y (5p Y)A-y dq Ij.
