Etablissons la formule
( 1 1 4 ) ddp^r = P^j dp-x r\rj d^j =plj dn^j dp^ , £y.
En changeant p en p — ^ et k en r dans (107), on voit que les deux derniers membres de (ii4) sont égaux. Ainsi il suffit d'établir Tégalité du premier et du deuxième, ou du premier et du troisième membre de (i i4).
Pour p = o, les trois membres sont nuls : le premier parce que ôo^^= 8^r est une constante, les deux autres à cause du facteur/?.
Pour/? = I, à cause de (100), (106) et (101), on a
do TOry = ( r, j) et 5, Ir = ^0 ^r = dfir — ^r-
Les deux premiers membres sont donc égaux comme se réduisant
Supposons la formule vraie pour l'indice /? — i , je dis qu'elle le sera pour l'indice/?.
De (89*), (106), (107), (108), on tire
Op-, y]|. = li riri dp^i S,,
dp^r^^^iflri^p-i ^h
d'où
d,dp Ir — li dp..i '^i dr)ri -+■ 2/ tQw d. ôp., 4/ = 2* ^p-i THn d^i -+- li y),.,- d, dp ..j S/, li riri d. ôp| ^i=(p — i)li riri Ij dp i rnj d^j
=z{p — i)lj dlj lifiri 5p-j r\ij — (p — \)lj dlj dp^x f)rj;
( I07 ) donc
Ainsi la formule (ii4)» vraie pour p = o. Test pour toute valeur positive de p. Nous allons voir qu'elle l'est aussi pour les valeurs négatives; il suffit de montrer que si la formule (i î4) est vraie pour l'indice/?, elle l'est pour l'indice {p — i). Comme précédemment, on a, d'une part,
d. ip ir = 2,- àp.^ riri d^i •+• 2i flri d. dp-i Ç„
et, puisque l'égalité (i i4) est admise pour l'indice/?, en reprenant en sens inverse les calculs faits tout à l'heure, on a, d'autre part,
d.dp t,r — P^J àp - , -Orj dE,j = li Sp-t riri dE,i-h{p — l) Ij àp^ , Yîry dçj
= li àp.it]ridS,i-h{p — i) li i\ri Ij àp-t riij dlj,
La comparaison des deux valeurs de rf.S^^r donne alors
li T)„- d,àp..^ liz=i{p — i)li riri Ij 5p-î f\ij dlj
OU
li firiVd.àp-^ ii—{p — i) Ij àp-i riij dlj] = o;
d'où nous concluons, d'après un raisonnement déjà employé au n" 134,
^.(îp,Ç/— (/? — l)2yÔp..,Yïiyt/Çy = 0. C. Q. F. D.
La formule (i i4) est donc absolument générale.
137. Remplaçant d par 8^ dans (ii4) et tenant compte de (ii3), on a
(l l5 ) dçdp^r = Plj ^p-\ f\i-J àq Ij —pàp^^.<^ Ir»
Il en résulte que, si X est une fonction linéaire homogène quelconque de ^,, ^2. •••• ^n» on a
(ii6) dgdp'k=pdp+q^i'k;
d'où, pour y = o,
(117) àdp'k=pdp-^'k,
d'où
dôSpl^o^Opl =zpddp..^'k=zp{p — i)6y.,,/;
et, en répétant la môme opération, on obtiendra d'une manière générale
(118) 3"' ^p^ =/>(/> — l)...(/?--W 4-1) Vm^
et, pour/? = — I,
138. Dans les numéros suivants, nous étudierons d'une manière particulière le déterminant ç.
En premier lieu,
9 à-i riri
est précisément le coefficient de l'élément y)/^ dans le déterminant ç.
Dans la formule (109), en effet, laissant invariable l'indice e, attribuans successivement à k les valeurs i, 2, . . ., n, nous obtiendrons les n équations
•/),, d, Y),,- -h. . .-hYÎ|,.<î ir),./H-.. .-MOinÔ-, Yîfl/=: (l, 0» •••• • • •••>
y]|l Ô i Yîii -H . . . -+- TTÎ/r ^-J flri "t" ..."+- t]/;, Ô, Y)^/ =r ( «', /), • • ••>
■0«i 3,r),/-f-. . .-hYÎ;,r(î iY}r|-4-. . .-HTQn»5-i tî«/=(«, l).
Il suffît maintenant de les résoudre par rapport à S,y];./ et de multiplier la valeur obtenue par o pour vérifier la proposition énoncée (*). On a donc
139. D'après la règle connue pour la dérivation des déterminants, on aura, en appliquant la formule (120) successivement aux diverses valeurs de r,
do = ^y driji 9 0-1 fï\J -+- 2y </r)yj 9 3-, TOly -4- . . . -f- 2y ^r)y„ 9 5„, y)„y — 9 2y li df]ji <5, YJiy
ou, d'après (87),
do — 9 2y 2,- 2^. 0, Yî^y tjik d^f,,
( ' } ? n'est pas nul (n* 132, remarque l ).
( *o9 ) Pour transformer cette valeur de rfç, observons qu'on a
^y ^rrj ^-1 fïjs =- ^J ^Jrs ^-l f)rj'
En effet, lorsque dans (93) on remplace d par S,, k par r, p par ^, qu'on prend, de part et d'autre, les coefficients des variations arbitraires r/^,, d\.y, ,.., û?S„, qu'on les égale, après avoir tenu complr de (87), et qu'enfin on se rappelle les conditions (72), on est précisément amené à écrire cette formule.
On a donc
^9 = ? 2/ ^k dlk iy ^jik 0-1 riij = 9 2, Ik dlk ^j ^iij 0-1 fijh
— 9 2a: ly dik 0, Tijk 2| £1/7
et, à cause de (72), (74) et (91*),
(121) do ~Q 2a- 2y (Tj dlk d, Yîy* =92* ^-1 Ta- </^A.
D'autre part, de (81) on tire
dr — Ij Tj dlj.
Supposons prises constantes les variations rfi,, c/^2» •••» ^S/iî nous pourrons déterminer ces valeurs constantes, de telle sorte que la fonction de ^,, ia, . . ., ^n linéaire et homogène dz soit telle fonction linéaire et homogène que nous voudrons; car la détermination de ces constantes se fera au moyen d'équations analogues aux équations (97); ces équations, du reste, donneront toujours des solutions puisqu'on a A^o.
Soit X une fonction linéaire quelconque; dans notre hypothèse, on a
