Posons

(123) Op,= iullî^ôt*©,

^ ^ '^ 1.2. ..fX

( iio) d'où

(i2/i) fx9|jL = — dcp(i-i;

on a aussi

^cp,„ = d T-tli^ â'« 9I = ^~'^ a-'é/o; Li .2. . .m ^J 1.2. . .m ^

d'après (122') et en admettant, par conséquent, que les rfE/Sont constants, on a encore

et, a cause de (119),

a"» ^9 = â"*9 d iX — m 8"'-«9Ô,X -h m(m — i)^'«-*9d,X — . . . -h(—i)Pm(m — i)., . {m — p -h i)S"^-P (pà^i-pl -h . .,

d'où enfin (i23)

(12.5^ ; ^?/«= 9/«^-iX + 9,;, iâ,À-i-. . .-+- 9i(5;„X H- 9Ô,,„X =^ ?tJLQ|jL->/t-iX

Distinguons les deux cas

Premier cas. — On a (iod)

et, par conséquent (124),

o = 9«-Hi = 9/14-ï = . . . ; d'où, si m^n,

(126) o = <i9,„ = \ 9,jLd^,„,X = \ 9,i5pL--m-i>"

La fonction linéaire homogène X étant quelconque, on peut la remplacer successivement par Ç,, Ç2» • • •» S/i- On a donc

[L=rn

(127) \9{A'5fA-//' i^r = o (/' = I, 2, ...,«) (m>/i).

{ ïl' )

Soit ^ une fonction quelconque des ^,-, on aura

(128) \ (ppL*|JL-m-lV|> = 0,

pL=0

car

Appliquant (i 28) à la fonction Sy,4.w4.2 5r» où p désigne un entier quelconque, on a

Jl=0

mais (1 16) donc

(/?-+- m -h 2 ) \ <p^.<5p+,iÇr = o,

et, comme pour chaque entier /?, on peut toujours choisir l'entier m (/w^/i), tel que p -+-m + 2 ne soit pas nul, on voit donc en particulier que Ton a pour/?^o

ii=«

d'où l'on déduit [de la même manière que la formule (128) se déduit de la formule (127)], pour une fonction quelconque,

ii=«

(i3o) \<?^àp^^^ = o.

Et, en appliquant à la fonction a,

11=11 (i3i) \ 9p^ôp+pt<7=:o;

cette formule est importante.

Deuxième cas. — Si m < /i, on a

ou (i3o) simplement

posant [JL = w -h I H- (jl', puis remplaçant de nouveau (x' par [jl, on a

Particularisons la fonction linéaire X et prenons-la égale à r/T, nous obtiendrons

Nous pouvons, dans cette formule, remplacer les variations constantes d\i par les variations correspondantes S$, qu'on sait être constantes, et l'on a, en vertu de (102) et (12/1),

(/n-hl)9,n+t = — \ 9(4+m-»-l^(4 0-,

ou, faisant /w -h i = /w' et supprimant l'accent,

9ffi= \^ 9(A-»-/n^(4 0"'

Cette formule importante a lieu pour et aussi pour /w = o, en vertu de (i3i).