Multiplication. — Formons le produit a6; on a

-h a,P,eïe,+ aj(3,e* 4- a, (3, e, e, -h . . . 4- a„ (3, e„ e,

-+- a,Prteie„-h a,(3;,eie„4- <X3p;,e,e;,4-. . .4- a„(3;,ej.

Chacun des produits CpC^ s'exprime en fonction linéaire à coefficients réels des unités principales, en vertu de l'égalité (8); il en est donc de même de ab : ainsi ab fait partie de V Ensemble &. Imaginons maintenant qu'on ait écrit le produit ba^ si l'on remarque alors qu'un terme quelconque du produit ab^ par exemple

a son correspondant

dans le produit ba, et que d'ailleurs

^p rq ■^- r7 ^p> ^p ^q "^^ ^gCp,

on devra conclure

ab =: ba.

Un raisonnement pareil nnanifesterait qu'il en est encore de même (les deux relations suivantes

{ab)c ^z{ac)b, a{b -hc)=ab -\- ac,

et nous voyons que les théorèmes (2) (n^ 2) sont satisfaits.

11. Division. — Relativement à la division de deux quantités complexes a et A de l'Ensemble proposé, nous partons de l'égalité (3) (n** 2^\ prise comme définition, ce qui, du reste, est absolument conforme à la manière dont on procède dans les éléments du calcul ordinaire; et nous exigeons en outre que le quotient

déjà tel que

cb =r -r 6 = a, b

soit une quantité de même forme que a eti, c'est-à-dire fasse partie de l'Ensemble £. Dès lors, la division de a par b revient à la détermination des coordonnées Y0Y2, . . ., Y» ^^ l'élément c par la condition

cb:=.a OU

OU bien

yi (Pi^î -^ Pî^i ^i-^- • • -^ P/i^i^/i)

-H yt (Pi^i^i -H Pi«î -h ... 4- (3«e,e„)

En remplaçant les produits CpCg par leurs valeurs tirées de (8) (n^* 8), puis égalant de part et d'autre les coefficients des e^.e^, . . ., e^, on obtient, pour déterminer les ncoordonnéesYwYa» • ••» T/i» l^s n équa-

tions linéaires,

yi(£iiir^i-H£|ii(32-h...4-£,i«^/,)-t-ys(£i2iP,-f £i2îl3i-h... + £,2«f3«)-f-...

-Hy«(ei«iPi-+-£i/iî[32-h. . .-+-£,„„;3;,):rr aj,

yi(s2iiPi-^eîii(3ï-f-...-heîi„(3«)-f-y2(£j2ij3,-h£mPî-^.-.-H£2î«P,,)-h... (i8) ( -+-y«(£2/iiPi-»-£2/iïî52-+-- • •-^£2////|3„)i= 3^2,

yi(^«nPl~'~^/II2p2)-|--..4-£«l« Hrt)+ y2(£//î lpl + S/îl2p2~'~'-- ~*~^/i2«p//) ■+"•••

7«(£/l/iI pi ~i~ £/î/i2p2'^~ • • • +£«/!« pw) ^= ^n