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sç.

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5/1-1 Çi

Çj

8/1-1 în

en appelant p le deuxième déterminant facteur. Je dis maintenant que, pour le discriminant D, on a

D = Ap«.

Effectuons, en effet, le produit des deux déterminants Ap et p, en procédant par ligne dans Tun et l'autre déterminant. Le (yn-i)*^™* élément de la (/^-hi)*^™® colonne du déterminant produit sera donné par la combinaison de la (y -f- i)*^"« ligne de Ap avec la {p-b i)*^"* ligne de p, c'est-k-dire sera

En se servant de (91*), {i i3), puis (84), on trouve

Ij Sq Tj dp Ij = 2y dp Ij lék (7 k dq TikJ -

— 2a: C'a dq Taj,

— IjOqflkjàpij,

— 1k <7k 1j Op Ej dq Taj = 1k ^k dp i-q t,k

p-hq'

leiue

Ainsi l'élément qui appartient à la(/?-f- 1)^^"* colonne et k la(y 4- i)" ligne est précisément le même dans les deux déterminants Ap^ et D; on a donc effectivement

I) = Ap«.

De Ik cette conséquence que D et p sont différents de zéro en même temps (car A^o).

On peut démontrer que, si A n'est pas nul, comme on l'a supposé dès

(ii6)

le commencement, on peut toujours choisir des valeurs pour les variables $,, $2, ..., Ç;j, telles que l'équalion $ =o n'ait aucune racine multiple ; dans ce cas, ni le discriminant D, ni le déterminant p ne sont nuls (*). Nous supposerons les valeurs des variables ^,, ^2. •••» ^n choisies en fait, de manière qu'il en soit ainsi.

(») Pour établir celle proposition, on montre d'abord que les /^ racines de l'équalion * = sont de la forme

Cela étant, et jti, ^^2» • . •> ^n désignant ces n racines, au moyen des formules (iSj). (S4 ). (106), (85), (89), (ici), (83), on montre que

.r,, ^2, . . ., ^ft étant des fonctions linéaires homogènes des variables Çy, on voit que la forme quadratique ir est décomposée en une somme de n carrés. Le discriminant de cette forme est précisément A, qui, par hypothèse, n'est pas nul; on en conclut que les n fonctions linéaires .rj, xs, ..., Xn sont linéairement indépendantes. Leur déterminant n'étant pas nul, on pourra déterminer Çi, ^i, . .., ^n par les équations

<7, 6, . . ., / étant n quantités distinctes. On aura ainsi atteint le but proposé.

Voici" maintenant, en résumé, comment on montre que les racines de l'équation 4> = o sont de la forme X = «i |i -t- «2 S2 -*-•••-+- «« 5««

Soient £/$/ et cr5i(/ = i, 2, . . ., n) dos variations constantes; dxr, dn^sj dz^ dvirs sont alors constants. L'application successive dos formules (91), (89*), (96), (86), (83*) conduit à ( A ) Sy dzj d 7)y = Sy y d d r\j.

Partant de

<f logcp = ^k^-\'^kd\k,

au moyen de (lai*), (86), (81), (ii4), (75), (90), (88) et enfui (A), et de ce que d'^k, dr^js, d'xj sont constants, on déduit

(B) dd\o§(f =-~^t^j'^jddirij.

On définit une troisième variation (constante) par la formule

d''^r=dd'7ir. Appliquant (81), (B), (i 19), (laa), on trouvera

On remarque alors que l'on a

cette formule montre que son premier membre est divisible par <p.

De (C) et en prenant les variations constantes d'^r égales aux variations correspondantes d^ry on conclut que l'expression

(D ) R = cep* d^9 — 2 6<p rf<p 8 rfcp -h 8* <p ^<p*

144. Cela posé, soit a? l'une quelconque des racines a;,, œ^, . ..,.r,i; définissons /î quantités <?,, ^2, ...j^^par les égalités

e,3„,$i -h ^îô„iH, -h. . . 4- e«5«i£^ = j;"-» ;

peut s'écrire, en désignant par P une fonction entière de ^i, ^i, . .., ^/t,

Ce point important établi, soit,d*une manière générale, <{/ une fonction entière des variables lr\ posons

[résultat des substitutions ( Çr [ ^- — X 8;^ ) dans ^/J, on aura (car les d^r sont constants )

(F) d^(^) = ^{d'\>)--^{^)dX, L'équation * = o pourra s'écrire

Soit X une racine de l'équation (G); on différentiant deux fois et appliquant chaque fois (F), on a

(H) dz{^) = o = z{d^) — zm)dX,

o = d[t{d^)] — d[zm) dX] = £(rf»cp) — e(8 rfa>) dX — ê(o^) r/»X — dX[t{dù^) — £(o» cp ) dX] ;

éliminant dX au moyen de (H) et parce que 5 rfcp = rf8o, on a

(K) [e(ocp)]»rf*X = [e(8ç)]n(rf«ç) — 2E(Scp)e(r/5cp)£(é/cp)-f-£(8ïo)[c(rfcp)]î. D'ailleurs, pour deux fonctions entières 4^ et 4^1 des variables (r, on a

l'égalité (K) peut s'écrire (D), (E)

[£(8cp)]3rfîX=£(R) = £(cp)£(P).

Si X est une racine de (G), on a d*X = o, quels que soient les {,.; car e(8cp) ne peut être identiquement nul, puisque 8(p lui-même ne l'est pas [en effet (io5) donne ^"^ = 1.2../^]. Donc on a

X = «1 5l -+- rtj Çî H- . . . 4- ^rt Çrt

sans terme indépendant des Çr» puisque pour Çt = ?î = . • . = Ç« = o, * = o se réduit à X« = o.

(roir les Notes de M. Dedekind dans les Forlesungen ùber Zahlentheorie^ von Lejeine- DiRicHLET. Zw^eite Auflage, p. 434; 1871-)

( i>8) la chose est possible, puisque Ton a

Mais, en outre, on a aussi pour toutes les valeurs

p z=iO, I , 2, ....

En effet, supposons que Ton ait pour les valeurs

niz^ p, y? -h I , . . . , /? -h /i — I ;

multiplions (i4o) par Cm-;?» puis donnons à m successivement les valeurs p, p-h i y .... p-h n — i et ajoutons tous les résultats obtenus, nous aurons

\ 9//i-/> 0//, ;i -H ^j y^ 9/M-p <îm Hj -i- . . . -f- ^« 2, ^'" A» ^"* ^« ~ \ m—p m=.p mz=p m~p

OU, en posant m — p = \i..

jm—p^

^l<^j ^ ?i.V/.-:y)- ^ çr^"*"".

D'après la relation (129), on a

^ ?{l 5jA4.,, £y rzi: — O,^ d„ 4.,, ;y , (1 =

et, d'après l'équation $ = o,

y 9^..ri^-^/' = — 9«.r^^".

( "9 ) On a donc aussi

(car 9,^ pz^ o). C'est dire que, si Tégalité (i4<>) a lieu pour n — i valeurs consécutives de l'entier m, elle a lieu aussi pour la valeur suivante et, par conséquent, à cause de (îSg), elle est générale.

145. Définissons maintenant, pour chaque système d'indices r, s, de nouvelles quantités au moyen des égalités

Multiplions les deux membres par

^P ir àç ?„

attribuons à r et 5 tous les systèmes de valeurs déduits de et faisons la somme; nous aurons

Ir ^s ^r^ àp ^r àq ?, — Ir ^s ^J ^Jrs ^J àp ^i- Oq ^, = 1,. Ij Cj dp ;,. Ig Ejrs ^q Ç.v ;

mais (78) et (i i3)

àp^ 7 ?y = 2r àq rijr àp £;..

Donc, en tenant compte aussi de(i4o),

Iris ejf' dp S^r dq ^s = Ij Ir ^J àp ?,. àq fljr = Ij Cj àp^q \j

— XP-^^Z=Z XP Xi z=z {!,€,, àp Ir) (2*^* àq Is)'

On en conclut, en ordonnant par rapport à Ip^r et lq\,,

2;.2,(e55^ — e,. e^) àp Ç,. àq Is = o.

[ls{e\''-e,es)àq^,]Sp^,-h[ls{e^^^--e,e,)àqEs]dp^^,-^..,

-^ [ls{e\t^—enes)àq^^s]àp^n = o.

Donnant k p successivement les valeurs o, i, 2, . . ., w — i, puisque

lo déterminant p est différent de zéro, on doit avoir

et cela pour toutes les valeurs q = o, i, 2, ..., n— 1. Ici encore, rhypothfese que le déterminant p est différent de zéro exige que l'on ait

ou, ce qui revient au même(i4i)>

€f€g — ^\rs^l "" ^irs ^j ~t~ • • • ~\~ ^nrs ^n

146. A présent, reprenons tous les calculs que nous venons de faire pour chacune des racines a?,, ^r^, . . ., x^ de l'équation $ = o; nous obtiendrons chaque fois un système de n nombres, que nous désignerons par

Pour chacun deces systèmes, la formule (142) aura lieu, desorte que les n quantités

peuvent être regardées comme un système de quantités muUivalenies dans le sens expliqué au Chapitre I de cette troisième Partie. Les n substitutions seront

V^l> ^î> • • • ) ^n I ^1J> ^ls^ • • • > ^ns) \^ — ï»^, ...,/2}.

147. Un point important est encore à prouver, savoir que le déterminant

n'est pas nul.

\n ^in

A cet effet, après avoir effectué dans (i'^9)les n substitutions [i\'i), considérons le discriminant D, nous trouverons

.i'i .rj ... Xn

C|lÔ$i -^6'j|05i 4-...4-r?,ii05«

^'lî^îi -H..-^-<7/iiO;/i

^uSlSl -»-<?îl5i5i -+-... -4-^/11 Si 5„

c\i^\\\ -»-..• 4-^/11 Si 5 rt

•• ^1/tOlÇl -^...-+-t'«/|Ôi;«

^11 S/i-l Çi -+-^ji 0«i Çj -f-. . .-+-<?/it 0/j -l 5«

^lî'^/i-i Çi H"- • •■+- <?/is ^/i-i ?«

, . Cin^n-i 5l -î-'-'-^-^'w/i 5,1-1 ;..|

et, puisque

1) - Ap»,

on a

de sorte que si A n'est pas nul, ce qui est supposé, e ne l'est pas non plus.

On peut dès lors appliquer au système des n} nombres que Ton vient de trouver tout ce qui a été dit du système des n^ nombres considérés dans le Chapitre I de cette troisième Partie. Et, en particulier, il est démontré : « que chaque système donné de nombres e^^, vérifiant les conditions (72), (73) et A 7^0, peut toujours se déduire d'un système de n} nombres dont le déterminant n'est pas nul, et cela par les formules (71) ». C'est là précisément la première partie de la proposition énoncée au commencement de ce paragraphe; l'assertion contenue dans la seconde partie de la même proposition sera justifiée par la remarque qu'on va lire.

148. Remarque. — Dans le courant de la démonstration précédente, on a particularisé les variables ^|, ^3, . . ., ^„ : on a obtenu dès lors un certain système de n^ nombres E. Arriverait-on au même système Een particularisant autrement les variables $,, ia» •••» S/i? (^-cs valeurs attribuées à ces variables sont toujours supposées prises telles que l'équation $ = o n'ait que des racines* simples.) C'est la question que

nous allons résoudre en terminant.