Considérons le déterminant

^111 pi "^ £ll2P2 ^211 Pi ~+" £«12p2

£|l/lp/* £l21 pi ~+" • • • + £i2«p« ^21 «p« £221 Pi H" • • • ~^~ Ê22/lP«

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^«11 Pi "J" ^/ïi2K2 "+"■••■+■ S/ll«P« ^/f 21 pl "^ •••"+■ S/l2nprt •■• £///il Pi H~ • • • "^~ £««/! p/i

Ce déterminant contient deux sortes de quantités; les premières dépendent du système des unités principales : ce sont les trpq\ les secondes dépendent uniquement de la quantité complexe particulière qui sert de diviseur : ce sont les coordonnées ^1,^2, . . ., P„ de l'élément b.

Le choix des trpç pourrait être tel, que le déterminant £ fût nul, quelles que soient les coordonnées ^1,^2» •••'?«(*) • 1^ système des équations (i8) serait alors toujours impossible ou indéterminé; aussi nous excluons désormais et a priori tout système de nombres £^^^, pour lequel ce cas se présenterait. On se convainc que le déterminant £ peut ne pas être identiquement nul, en prenant un cas particulier, par exemple, celui indiqué pour une autre fin (n° 10) et qui répond aux formules (12) et(i3).

Ayant donc supposé que le déterminant £ n'est pas identiquement nul, si les coordonnées du diviseur b ne rendent pas nul £, on trouvera, quel que soit le dividende a, un système unique et déterminé de coordonnées YmY2» -^Y/i et, par suite, une valeur unique et déterminée du quotient cherché c. Mais, au contraire, si les coordonnées

(*) Par exemple, si Ton prenait Srpq = i> pour toutes les valeurs r,/?,ç = 1,2, ...,//. Ce système de nombres 6rpq d'ailleurs ne serait pas exclu par les conditions (9) et (i i).

de b rendent nul £, ou bien il n'existera aucun système de coordonnées finies Yi' Ta» •••» Tn vérifiant les équations (i8), ou bien il en existera une infinité et quelques-unes au moins parmi elles seront absolument indéterminées : cela dépendra des coordonnées a,, ag, .. ., a^j du dividende a.