Dmseurs de zéro. -- Prenons le cas particulier où

a = 0, c'est-à-dire

«1 :^ Ofj =:: . . . = ÛC^ :=i: O ;

les équations (18) seront compatibles et, outre le système de solutions

en admettront une infinité d'autres, et cela, du reste, que l'on suppose b = o oub^o.

Soit 6^0 etc une quantité complexe dontles.coordonnées y,, ya, ..., y„ ne sont pas toutes nulles et vérifient les équations (18).

On aura

et cependant

un tel fait ne se présente jamais dans le calcul ordinaire basé sur les

deux unités principales i et V— i. Le diviseur considéré ô^oestalors appelé par M. Weierstrass un diviseur de zéro; ce que j'écrirai

On peut, si l'on veut, continuer à appeler b un diviseur de zéro, lorsque 6 = 0, car on a certainement alors e = o.

La dénomination dimeurde zéro, donnée au diviseur i, est évidemment fondée sur la propriété bc = o qui suppose a = o ; mais, en réfléchissant sur ce qui précède, on voit de suite que cette propriété du diviseur de zéro b dépend uniquement du déterminant e qui est nul et où n'intervient point la quantité a, de sorte que l'on doit définir un diviseur de zéro : « un élément de V Ensemble <t pour lequel le déterminant t correspondant est nul » .

17. b et c n étant nuls ni run ni l'autre y si b est un diviseur de zéro et que bc = Oy c sera aussi un di\^iseur de zéro.

Cela se déduit immédiatement des équations (i8), où Ton suppose a, = aa = . . . = a;, = G. Il suffit, en effet, pour le voir, d'observer que le déterminant e' de ces équations considérées non plus en y<> Ta. • • •» Y»» mais en p,, ^2 •••• ?«» est nul : car, s'il ne l'était pas, les équations (i8), contrairement à l'hypothèse, ne donneraient que le seul système de solutions

Cette propriété d'un diviseur de zéro b^o, qu'il existe certaines autres quantités c^o, telles que le produit bc soit nul, est donc une propriété caractéristique des diviseurs de zéro.

18. Le produit d'un diviseur de zéro par une quantité complexe quelconque est lui-même un diviseur de zéro.

En effet,

équivaut à

bc = o,

pour c ayant certaines valeurs; on a donc aussi

kbc = o ou {kb)c =^o;

donc (n^l7)

19. Cas de n= 2. — Reprenons les notations du n** 11 ; en supposant, par exemple, v ^ o, on sait qu'on a les deux conditions

=afx'-fx>/)p«+(Xv'-vxo(3,p,+(fxv'-v^O(3;;

( '8) on vertu des formules (17), on a

D'après cela, il est nécessaire et suffisant, pour que e soit identiquement nul, que

Xv — jUL* zz: O.