Théorème!.— Si la fonctiofi f [z) reste syneetiqiie à
l'intérieur d'un certain contour, et si Zq et Z sont deux
Jn Z 1 f[z)dz sera indé-
pendante du contour le long duquel s'effectue V intégration, 'pourvu que ce contour soit compris à V intérieur de faire
en question.
Théorème IL — Si Von suppose actuellement les points z^ et Z infiniment rapprochés^ Vintégrale prise sur la ligne droite qui joint z^^ et Z sera infiniment petite et sensiblement égale à f[z), multiplié par l'imaginaire représentée par la distance de z^^ à Z. On peut donc dire cjue : .
JJ intégrale d'une fonction syneciique à V intérieur d\me certaine aire est nulle ^ quand elle est prise le long d'un contour fermé contenu dans cette aire,
20. Théorème III. — Considérons actuellement un contour ahcdy et d'autres intérieurs à celui-ci : mnp, rst^ etc. Supposons quef{z) reste synectique pour tous les points de l'aire comprise entre le premier contour et les contours intérieurs^ désignons^ pour abréger^ d'une manière générale par M. Vintégrale de f[z) prise le long cVun contour quelconque M:
Hosted by
( 4o ) prenons ensuite a et a' infiniment voisins, ainsi que r et
FiG. 3.
r' y traçons dans faire donnée des cloisons telles que bic, allant d'un point du grand contour à un autre, mais telles, que dans la portion d'aire qu'elles déterminent ne se trouve qu^un seul des contours intérieurs : c'est toujours possible si les petits contours ne se coupent pas, ce que nous supposerons.
Nous avons alors, en vertu de notre notation et du théorème II, en joignant a' et r\ a et r par des lignes intérieures à la portion d'aire contenant le contour r^f,
a! r' stradciha^ ^=i o\ or
a'r'stradciba'zrz a'r' + r'strr' — rr' -f- ra -f- adciha'a — a' a
rr= r'strr^ — aa'bicda -\- a'r' -\- 7 ' r -\- ra -\- aa' ;
or, en vertu du théorème II,
a'r' 4- r'r -I- ra -I- aa' :z=: o ;
par conséquent,
r'str = abicda ^
ou bien
r'str-=:^ cdb H- bic.
On aurait encore d'autres équations analogues à celle-ci, relatives à chacun des contours, tels que rslv^ dans le premier membre de l'équation suivante entrerait l'intégrale
Hosted by
relative à Faire mnpm \ dans le second membre figurerait -f- cib ou — hic et une portion de Fintégrale abcda^ et ainsi de suite. En ajoutant ces séries d'équations, en supprimant les termes qui entrent avec des signes contraires, on arriverait à une équation dans le premier membre de
laquelle figurerait la quantité ^ rstr, et dans le second
membre de laquelle on trouverait abcda. On peut donc énoncer le théorème suivant, fondamental dans la théorie des résidus :
Si A est une courbe fermée contenant dans son intérieur diverses courbes fermées ne se rencontrant pas, Bi, Bg,..., B„, en nombre quelconque, si de plus la fonction f[z) reste synectique pour tous les points de faire comprise entre la courbe A et les courbes Bi, Bg,.-? B„^ V intégrale de f[z) prise le long de A sera égale à la somme des intégrales de la même fonction prises le long des courbes B^, Bg,..., B„.
Remarque L — Pour que ce théorème soit vrai, il faut convenir de prendre les intégrales en faisant tourner la variable z toujours dans le même sens, c'est-à-dire que si l'on prend un point intérieur au contour, le rayon vecteur allant de ce point au point z devra décrire un angle total égal à -H 2?:, le sens dans lequel on compte les angles étant celui du mouvement d'un point décrivant un cercle en partant de l'axe des a: positifs pour marcher par le plus court chemin vers l'axe des y positifs.
Remarque IL — Le théorème II n'a été démontré que dans le cas où la fonction /(z) restait monodrome, monogène, finie et continue, et sa dérivée finie à l'intérieur du contour d'intégration; s'il n'en était plus ainsi, l'intégrale def(z) pourrait fort bien acquérir une valeur finie différente de zéro.
21. Théorème IV. — - Le théorème I peut encore s'énoncer ainsi :
V intégrale
u=z f{z}dz,
considérée comme fonction de Z, est monodrome puisquelle est indépendante du chemin suivi par Z pour aller de z^ en ïi. Nous allons démontrer qu'elle est monogène.
En effet, raccroissement de a dû à raccroissement h de Z est
or, jf (-s) variant peu de Z à Z H- /z, on peut poser
k:=f[7.) l clz.
' Jz
L'erreur commise a un module qui est du second ordre j on peut donc la négliger, et on a
ce qui démontre le fait que nous avions avancé.
La dérivée de ?i étant finie, u sera continuai est de plus fini (18), donc il est synectique.
22. Remarque I, — Lorsque f{z) est la dérivée d'une fonction cp (^) monodrome et monogène^ [intégrale
« ziz: I f(^z)dz
est complètement indépendante du chemin z^^z y et toujours
Hosted by
(43) égale à cp ( ^ i ) — (f ( 2^, ) . En effet,
du
ainsi les fonctions 9(^1) et u ont constamment la même dérivée, elles ne peuvent donc différer que par une constante. Pour déterminer cette constante, considérons-la sous la forme u — '^(-^^i), et faisons converger le point z^ vers le point z^, ^l-^i) étant monodrome, quel que soit le chemin suivi, prendra en Zq la valeur unique (p (^q) *, mais u — 9(^1) restant constant prendra donc aussi une valeur unique en z^ : la constante en question est donc — © (zq), car u est nul en z^. Ainsi,
Nous verrons plus loin que si la fonction f{z) a des infinis simples, elle ne saurait être la dérivée d'une fonction monodrome et monogène.
23. Remarque IL — La règle d'intégration par parties doit être appliquée avec précaution aux intégrales
imaginaires quand la fonction sous le signe / n'est pas monodrome-, ainsi l'on a
I /zdz = ziz — I
dz
Supposons que l'on intègre le long d'un contour fermé contenant Torigine et ne se coupant pas lui-même, il ne faudra pas réduire à zéro le premier ier me zlz^ parce que Iz ne revient pas avec la même valeur au point de départ 5 si Zf^ est ce point , on aura :
Izdz -:=-- 2TV \/ — 1^0 — ^Tf V'"
Hosted by
Formule de Taylor.
24. La règle d'intégratioa par parties conduit, comme nous allons voir, à la démonstration de la formule de Taylor.
On a identiquement
Jo
En intégrant plusieurs fois de suite par parties, on a successivement
f{x-^^h)~f{x)~hf'[x)— j zf"[x-\-h—z]clz
^'^^ =zA/'(x)+-^/"(^)+..
z)dz.
Nous n'avons pas encore fixé la forme du contour d'intégration : supposons-le tel, qu'aucune des dérivées de x ne devienne infinie ou discontinue en un de ses points, jusqu'à la ^2'^'"'' inclusivement 5 soit /x le module maximum de cette dernière le long du contour en question : nous aurons
I /''(x -h h — z)dz
^pmod. I —
Jo I .
<^ limoâ.
et par conséquent, si a désigne Aine quantité dont le mo-
Hosted by
( 45 ) dule est <^ i ,
^ ^n— I jf^n
: f^ [x ~\- h — z)dz =: afjt
On peut encore mettre cette quantité sous la forme
F désignant une valeur de /"(z) sur le contour d'intégration, et X un arc réel, en sorte que la formule (i) devient
f{x + h)=f{oc)+hf'{x
Cette forrnule va bientôt nous servir : elle contient du reste comme cas particulier la formule relative aux fonctions de variable réelles, et s'applique encore à ces fonctions dans le cas où la dérivée tz'"^'»^ aurait un infini réel compris entre x et a: H- h .
Des intégrales considérées comme fonctions de paramètres variables, — - Biffer entiation sous le signe l •
