Considérons l'intégrale

jf{z, t]dz :=. «,

et supposons la fonction ^(2, t) finie et continue tout le long du contour d'intégration, à la fois par rapport à z et à Z.

Il est bien clair que si le contour z^Zi n'est pas infini,

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{ 46) Il sera fini, car son module sera moindre que

ds ,

yi désignant le module maximum de / sur la courbe z^z^ et J5 l'élément de cet arc, c'est-à-dire moindre que ixs. De plus, u représentera une fonction continue de t : en effet, si l'on donne un accroissement infiniment petit à i, chaque élément de l'intégrale prend un accroissement infiniment petit du second ordre, et par conséquent l'intégrale u prend un accroissement infiniment petit du premier ordre. Elle représente bien par conséquent une fonction continue de t. Ce dernier raisonnement, comme on voit, ne suppose pas que le contour d'intégration soit fini, il suppose simplement la fonction jf finie et continue .

Proposons-nous maintenant de calculer la dérivée —

de l'intégrale u par rapport au paramètre t,

A cet effet donnons à t l'accroissement 0^ u prendra un accroissement A, et nous aurons

kz=: \f(h t-^0)—f{z,t)]dz,

ou, développant par la formule démontrée au numéro précédent.

D'après cela on voit que si le contour Zq z^ reste fini, si de plus la dérivée seconde de /^ reste finie sur ce contour,

la limite de - on la dérivée de u par rapport à t sera

^=: / f'[z,tU.,

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(47) Cette proposition serait encore vraie pou nui contour infini, si par un changement de variable on pouvait ramener Tinlégrale u h être prise le long d'un contour fini, la

quantité placée sous le signe 1 ne devenant pas infinie.

Nous verrons plus loin que quand une fonction est synectique en un point t du plan, toutes ses dérivées sont synectiques au même point ; il en résulte que si la fonciionf(z^t) était synectique et le contour ZqZ^ fini, on aurait la dérivée de u en différentiaot la fonction sous le

signe I •, et il en résulte immédiatement que la fonction u

iserait synectique par rapport à t,