DES INTÉGRALES DÉFINIES PRISES ENTRE DES LIMITES
ÏMACHNAIRES.
Définitions.
'16. C'est Caiichy qui le yjremier a donné une théorie complète et rigoureuse des intégrales définies prises entre des limites imaginaires, dans un Mémoire publié en 1 825. Laplace et Oslrogradsky avaient avant lui fait quelques travaux sur cette question, mais, comme le dit Caucliy dans son Mémoire :
(( ..... Aucun des Mémoires publiés jusqu'à ce jour sur les diverses branches du Calcul intégral ne fixe le degré de généralité C|ue comporte une intégrale définie prise entre des limites imaginaires et le nombre des valeurs qu'elle peut admettre. )) '
Cauchy appelle intégrale de la fonction f{z) prise depuis Zq jusqu'à Z et désigne par le symbole
Z f{z)dz
la limite vers laquelle converge l'expression
f{zo) (z, — Zo) 4-/(z,) {z,^z,)-i-f{z,]{z,— z,)-^.. . •4- /(%„() (Z -— z„,),
quand ^j — Zq^ z^^—~Zq.. . '. , Z — z,^i convergent vers o et que n augmente indéfiniment» A la limite, les points z^^ Zi^ ^2, , étant infiniment rapprochés, se trouveront sur
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(35 ) une courbe continue ; cette courbe est appelée contour d'intégration.
L'intégrale
(i) u^ f f[z)dz
variera en général avec le contour d'intégration, mais il est facile de voir qu'elle aura une limite finie si le contour ^0 Z'j est lui-même fini, ainsi que ^'(^s).
En effet, si M désigne le maximum du module de/ (2) le long du contour d'intégration, l'expression (i) aura évidemment un module moindre que
M [mod. (21 — Zo) r^ mod. [z^ — s,) -f-. . .].
Or, le module de z^ — z^ n'est autre chose que Félément de contour z^z^ ou s.x — s^^ etc., en sorte que
mod. ^i<M [(^t — ^0) + (^^2 — ^i) -}-. . .H- (S — ^„,)],
ou
mod.«<;M{S — ^0),
ce qui montre bien que a est fini.
17. Voyons maintenant de quelle manière nous prendrons une intégrale le lotig d'un contour déterminé. Soit
l'équation du contour. Nous poserons
z=ix -hy V— 1 7 ^0 = -^^o + Jo V — î ? Z r= X -f- 1 y^~ r : l'équation (i) deviendra alors
/.X + Yv/'-i ___.
ou, si l'on se reporte à la définition que nous avons donnée
(36) de l'intégrale définie,
Si dans cette équation on remplace chaque y par la valeur en X tirée de Téquation (2), on voit que le second membre se transforme en une intégrale prise entre des limites réelles, et l'on a
(3) uz=. \ /(^ + C7v/~r7) fn--^ \/~j^^.
Cette dernière égalité montre qu'une intégrale définie est indépendante du mode de division de l'intervalle compris entre z^ et Z, en d'autres termes indépendante de la disposition des quantités ^j, ^g?--»? ^n-i sur le contour le long duquel on intègre, et de la manière dont croit le nombre zz, à condition toutefois que la quantité
sous le signe / ne passe pas par l'infini. Elle montre
aussi la règle à suivre pour intégrer le long d'un contour donné par son équation en coordonnées rectilignes.
Si Féquation du contour était donnée en coordonnées polaires, on trouverait facilement
formule dans laquelle il faudrait remplacer r par sa valeur en fonction de tirée de l'équation du contour.
tiiude des intégrales d'une même fonction prises le long de contours différents,
18. Nous allons maintenant nous occuper de la manière dont varie une intégrale quand, sans changer ses limites ^ on fait varier le chemin le long duquel on i'ntègre.
Considérons d'abord deux chemins infiniment voisins
FlG 2.
ZozZ et Zqz'Z compris à l'intérieur d'une aire pour tous les points de laquelle la fonction /"( 2; ) reste synectique.
Les intégrales de/'(^) prises le long de ces deux contours seront respectivement
f f[z)dz, f f{z')dz\
Cela posé, supposons que les deux points z et z' se meuvent simultanément en parlant ensemble de z^^ pour se rendre ensemble au point Z, de telle sorte qu'à chaque position de z corresponde une position de z' , Celte correspondance aura lieu si l'on suppose que les variations de z et -z^ soient fournies par la variation d'une variable t qui sera, si l'on veut, le temps.
Désignons par h la droite zz' : le triangle Ozz' donne la relation (5)
dz' :=: dz -\- dh,
et, par conséquent,
f f[z')dz'~ f f{z)dz j /(z-hh){dz-hdà) ~ f f{z)dz,
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OU bien, iiëgligeaîU les infiniment petits du second ordre
sous Je
signe I 5
f f{^')dz' - f ^ f{z)dz .
^ I f{z)dh-+- i f'[z)h.dz,
Jz,, Jz-„
Or, rintégration par parties donnej en observant que h est nul en Zq et Z,
fZ' /-^ z
f(z)d/ï = ~ I f'[z)h.dz.
En comparant cette formule avec la précédente, on voit que la différence entre les deux intégrales proposées est nulle, à un infiniment petit du second ordre près.
Dans cette démonstration, nous avons supposé que f[z -H II) était égal à f [z) -f- hf^ (^), mais le/'(^) que Ton obtient ainsi ne sera égal au J (^) qui entre sous le
signe I dans la première intégrale, que si, en suivant le
chemin brisé z^ z'z^ la fonction/'(^) prend la même valeur au point z qu'en suivant le chemin direct ^^^ ^, c'est-à-dire que la déîuonstration précédente suppose la fonction f [z] monodrome dans l'intervalle compris entre les deux chemins considérés.
Ensuite, en intégrant par parties, nous avons supposé
que le/' [z] limite de "— ^ j — -^—^ était égal au/' {z)
T • -. fiz^dz) — fiz) . ., i .
Jimite de — ^ ^—^5 ce qui suppose /(^) monogène. Enfin les opérations que nous avons effectuées supposent /(^) finie et continue ainsi que/' (^), donc notre
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( 39 ) démonstration n'est applicable qu'aux fonctions synectiques.
Cela posé, si l'on considère divers chemins infiniment voisins, tous compris à l'inlérieur de Faire considérée et passant en z^ et Z, les intégrales de/(^) prises le long de ces chemins sont égales successivement à un infiniment petit du second ordre près, ce qui revient à dire que deux quelconques d'entre elles sont rigoureusement égales. On peut donc énoncer ce théorème remarquable, établi pour la première fois par Cauchy dans son Mémoire déjà cité (16), mais d'une manière un peu différente.
