A côté de cette règle, dite de la différenlialion sous

le signe s , vient se placer la règle d'intégration sous le

même signe 5 elle peut s'énoncer de la manière suivante :

La valeur de l'intégrale double

fP

\ f{z,t)dzdt est indépendante de l'ordre dans lequel on effectue les in-

Si l'on se reporte en effet à la définition donnée (16) de l'intégrale

j f{z)dz,

nous aurons

1 j f{z,t)dzdt = \imj [f{z,h)[t'—t,)

-h/{z, t'){f—t')-^ ,.]dz :=:\\m[f[z,,t,)(t'-t,){z'-z,)^-f[z\t,)[t'-u)[z"-z')

-\-f[z,, t!)[t"-u)[z' -~z,)-\-,,.'\ = 1 I f[z, t) dzdt.

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( 48 ) Cette démonstration, qui pourrait s'étendre à un plus grand nombre d'intégrales, suppose que la quantité sous

le signe l / ne devient pas infinie le long des contours

d'intégration, et de plus que les contours d'intégration restent finis.

27. Remarque. — Nous avons supposé Zq et z^ indépendants de t-, si dans l'hypollièse contraire on voulait différentier par rapport à t l'intégrale

t) dz,

on aurait

du dt ~

/duX \dzj

dzo /du \ dt \dz^^

k dz^ / dt

ou bien

du C^^ ^., V , ^, s dzç, ., .dz^

avec les restrictions dont nous avons déjà parlé.

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