TS\X

Ce résidu se désigne ainsi :

d'après cela, on voit que si ç (a:") = oo ,

représente le résidu de <^{z) pris par rapport à x,

29. Théorème L — Le résidu d'une somme ou d'une différence est égal à la somme ou à la différence des résidus de ses parties.

Théorème IL — Le produit d'un résidu par une constante est égal au résidu de la fonction sous le signe X multipliée par cette constante.

Théorème IIL — On a

Théorème IV. —On peut différ entier et intégrer sous le signe X comme sous le signe I »

Tous ces théorèmes se démontrent trop facilement en

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( 5i ) parlant de la définition que nous avons donnée des résidus pour nous y arrêter davantage.

30. L'intégrale d'une fooction prise le long d'un contour iofini, le résidu intégral de cette fonction relatif à une aire indéfinie sont deux quantités indéterminées, si l'on ne fait pas connaître d'une manière bien nette et bien précise la manière dont se déforme le contour ou Faire qui deviennent infinis. Quand l'aire est un cercle de rayon infini ayant son centre à l'origine, le résidu correspondant s'appelle résidu principal.

Calcul cVun résidu, 31. Calculoris d'abord le résidu R de

étant une fonction finie pour ^ = ;r, le résidu cherché est égal à l'intégrale

prise le long d'un contour fermé contenant le point x et pas d^nfini de ^[z)\ du reste (20), on peut prendre pour contour d'intégration un cercle de rayon /^très-petit décrit

FiG. /,.

du point X comme centre. Si l'on désigne alors par B l'angle d'un rayon quelconque de ce cercle avec l'axe des .r, le triangle Oxz fournira, en vertu du théorème de

Mourey (5), ___

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( 5.- ) et en différenliant,

La formule (i) devient alors

Celte formule ayant lieu quelque petit que soit r, on peut prendre 7^ = 0, ce qui facilite l'intégration, et l'on a, en supposant cp(x) continu au point x,

ou, ce qui revient au même,

en vertu du théorème (29)^ si Ton différentie n fois par rapport à a:, on trouve

ou bien

' [[[z — xy-^']) 1.2.3. . ,n

Proposons-nous enfin de calculer le résidu principal de f[z)^ nous aurons

'^ ((/(-) )) = —W {f{-)dz,

ou bien, en intégrant le long du contour circulaire décrit d-e Forigine comme centre avec un rayon infini,

l ((/(z) )) =. lim~J^'\f{reS^'=''}re<^\'^dO.

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(53) Sif(z)z a une limite a finie et constante pour toutes Jes valeurs de Fargument de z quand son module devient infini, on a

Si zf[z) avait deux limites différentes correspondant a des arfifumenls variant de a -\ — el de - a — ? alors

G et g' étant ces deux limites, on aurait trouvé

Nous verrons plus loin que quand une fonction monodrome et monogène devient infinie pour z = x^ elle est

de la forme > ■ ■ ^ ■ ? op(^) ne devenant ni nul ni infini

pour ^ = a: et ^ étant un nombre entier. Tous les résidus simples que nous aurons à calculer se ramèneront donc aux casque nous avons examinés 5 mallieureusement les résidus principaux né sont pas toujours aussi faciles à

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