CHAPITRE V
APPLICATION DU CALCUL DES RÉSIDUS A LA RECHERCHE DES INTÉGRALES DÉFINIES.
Préliminaires.
32. La tbéorie des résidus se prêle avec une merveilleuse simplicité à la recherche des intégrales définies, et voici comment :
Concevons que Ton intègre une fonction monodrome et monogène le long d'un certain contour fermé. L'intégrale que Ton obtient ainsi est égale à la somme des résidus partiels de la fonction relatifs à chaque infini. En écrivant cette égalité, elle se décompose en deux autres que Ton obtient en séparant les parties réelles des parties imaginaires^ ces deux autres égalités fournissent en général la valeur de deux intégrales définies.
Quelquefois on s'arrange de telle sorte que la fonction que l'on intègre devienne infinie sur le contour d'intégration lui-même. Mais, dans ce cas, le procédé que nous venons d'indiquer doit être un peu modifié.
Considérons un point x et supposons qu'en ce point la
FiG. 5.
fonction /(^) devienne infinie; supposons un contour fermé quelconque xah passant en .r, et, pour plus de
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(55) généralité, supposons que les tangentes à ce contour en x fassent un angle a (égal à tt dans le cas où x ne serait pas un point singulier). Du point x comme centre, avec un rayon r infiniment petit, décrivons un petit cercle coupant en m et 7i le contour xab. Intégrons /"(^j le long de ce contour en évitant le point x, c'est-à-dire le long de toute la portion de contour extérieure au petit cercle que nous venons de tracer. L'intégrale ainsi obtenue est ce que nous pourrons appeler la valeur principale de l'intégrale de/(^) prise le long du contour xab.
Si nous intégrons la fonction /(j^) le long du contour nabmpTiy nous trouvons, en désignant par iviisl — i l'intégrale cherchée, et par E le résidu de /(z) relatif à tous les infinis contenus dans le contour :ï7a^, y compris x,
it:\I — I ./
L'intégrale étant relative au contour mpn^ cette équation peut s'écrire
et pour r =: o,
(i ! i -\ lim
^---- /{,:.+ re^sf^^)rJ^-^=Y..
Or
est égal à
— lim/(a;-l-r^^v/-^) re^'J-
— I /{re^"^-' -h x) re^"^ dO, pour r — o, ^^ Jo
c'est-à-dire au résidu de f{z) relatif au point x.
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( 56) L'équation (i) peut alors s'écrire
E^^ désignant le résidu de /(^) relatif au point x^ et E' le résidu de f(z) relatif au contour xab^ abstraction faite de l'infini x.
Si le point X n'était pas un point singulier, on aurait
<^ = TT, et par conséquent
ÎS'ous avons supposé qu'il ne se trouvait qu'un seul infini de la fonction/(^) sur le contour xab-^ il est clair que s'il s'en trouvait plusieurs, la formule (2) devrait être remplacée par la suivante :
i = E' -hl —F/'.
Première application des principes précédents,
f[z\ 33. En intégrant la fonction -^-^ le long d'un contour
circulaire décrit de l'origine comme centre avec un rayon r assez petit pour que dans l'intérieur de ce cercle /'(2) reste synectique, on trouve
'"Âre'>^'--)cU^l/-^=m,
et plus généralement, en intégrant '-—^5
Prenons par exemple /(^) égal à ; en supposant r
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( 57) moindre que i, reste synectique, et la formule (i)
donne
DsG — rsj — 1 sinÔ
Cette formule, en séparant les parties réelles des parties imaginaires, donne les deux autres :
smô
cos9 H- r"^
r^^ f/Ô(i — rcosQ) __ n^" dBsi
J^ I — ircosO-{~r^ ' J^ i — ^rco
Ces deux formules semblent indépendantes de j\ et c'est ce qui a lieu effectivement quand 7^ est plus petit que i, mais elles changent quand on suppose r plus grand que i , En effet, on a alors
j__ r-"" dô r___i__— o
^'^ X I — rcosG — 7V~sinÔ ~ ^((^(i— ^))) de isorte que Ton a dans ce cas
J^^ I — 2rcos0 -I- r' ~ ' J^ I — 2rcos0 + r2
et pour r égal à i ,
I /^^^ dB
^'^ Jq ^ ~~ ^cosô — T'v'— I sinô
dB sinO
par conséquent^
r^^ do{i — cosB) r'
X z — 1 cosB '^'^' J^
z — 2 cosy Ces deux formules sont aisées à vérifier : elles donnent en
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( 58) effet
ÎB cos -
siiî -0
Là seconde de ces formules donne la valeur principale de
ryôcot-ô.
Deuxième application.
34. En intégrant y (2;) supposée monodrome et monogène dans l'intérieur du rectangle ayant pour sommets les points Xq~\-Jos/ — i, Xq -+-Ji s/ — i , Xi 4- j^ V^ — 1 et Xo-hyiS/ — I, le long du périmètre de ce rectangle, on trouve (16)
27ry/-
— / /(^ -^ y,\l—\)dx n^i
^la/m-
En vertu de ce qui a été dit (32), si la fonction /(z) devient infinie sur le contour, il faudra un peu modifier la formule précédente, réduire les intégrales à leur valeur principale, et dans le second membre écrire seulement la moitié des résidus x^elatifs aux infinis qui sont situés sur le contour d'intégration, et le quart de ceux qui sont relatifs aux infinis situés aux angles.
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(59j Supposons qnef[x -hy^/ — i soit nul pour x = ±; oo , quel que soit j, et pour jr=.- ^-go , quel que soit x '^ prenons
^0 — — CO , ^i i=r -4- 00 , Jo = O, ■ J, =: OD ;
l'équation précédente devient alors
(2) / /(x)rf^- = ^((/(z))).3,rv/-I,
le premier membre devant être réduit à sa valeur principale si/(x) devient infini pour une valeur réelle de x, et le second membre ne renfermant que la moitié des résidus relatifs aux infinis réels def(z).
La formule (6) peut encore s'écrire
