La formule

que nous avons précédemment démontrée, fournit, comme

nous avons vu (25), en la différentiant sous le signe X

qui, en définitive, n'est pas autre chose qu'un signe d'intégration,

[Nous avons le droit [voir n^ 2o) de différeniier par rapport à X sous le signe ft parce que la dérivée seconde de

la quantité placée sous ce signe reste finie.] Cette dernière formule montre qiief^^x) est une fonction finie et

continue, puisque la fonction placée sous le signe £^ reste

elle-même finie et continue 5 on voit aussi qnef^(x) sera monodrome et monogène, car sa dérivée se déduirait de la formule (2), comme elle-même se déduit de la formule (i). On peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème I. — Si une fonction est synectique dans le voisinage d'un point x^ toutes ses dérivées jouissent de la même propriété.

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En effet, la première dérivée sera syiiectique d'après ce que nous venons de voir, la dérivée de sa dérivée le sera pour la même raison, et ainsi de suite.

37. Théorème II. — Une fonction continue^ monodrome et monogène dans une aire A, ne saurait avoir toutes ses dérivées nulles en un point quelconque de cette aire sans être constante.

En effet, soient x et x~{-h deux points voisins de Faire en question; prenons h assez petit pour que, décrivant du point z comme centre un cercle, il soit contenu dans Faire A et contienne le point jt-h/z; soit e;nï\nf[z) une fonction monodrome, monogène et continue dans Faire A-, supposons que h ait été choisi assez petit pour que dans Fintériexir du cercle que nous Venons de tracer il ne se trouve pas d'infini de/'{^) : nous aurons

le résidu étant relatif à l'aire du cercle en question. En développant, cette formule devient

+ *.(■ Il£!—

^ O [^^{^z — xY [z — X — h)))

Si l'on stippôse nulles toutes les dérivées àef[z) au point x^ cette formule devient (31 )

et cette formule a lieu quelque grand que soit n. Or, sous le signe X, h a un module moindre que z — x [z— x a pour module le rayon du cercle relativement auquel

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( 63 ) on prend le résidu, h a pour module la distance du point intérieur x -\- h au point x, centre du cercle) 5 donc

fin

— a pour limite zéro-, le i^ésidu lui-même, qui est

;al à

égal à

dz.

aura pour limite zéro, car chacun des éléments de l'intégrale précédente sera du second ordre, et l'équation (i) devient pour n =: oc

La fonction /(ji?) reste donc constante à l'intérieur du cercle que nous venons de considérer 5 mais par un raisonnement effectué sur le point x-\-'h comme sur le point X, on trouverait ainsi de proche en proche que f{z) reste constant dans toute l'étendue de l'aire A.

Remarque. — La fonction e "^ a toutes ses dérivées nulles au point o ^ on ne peut rien en conclure^ parce que cette fonction n'est ni monodrome ni monogène au point o.

38. Théorème IIL — - Une fonction monodrome et monogène dans une aire A ne saurait être constante dans une étendue finie quelconque de cette aire.

En effet, considérons une courbe tracée à l'intérieur de l'aire A -, supposons que le long de cette courbe la fonction y'(^) monodrome et monogène reste constante, ses dérivées eo un point quelconque de la courbe en question seront toutes nulles-, donc, en vertu du théorème précédent, la fonction /'(-^) restera constante dans toute l'étendue de l'aire A. Elle ne sera donc pas, à proprement parler, une fonction.