Théorème IV. — Toute fonction synectique f[z
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( 64 ) pour z = a, qui devient nulle au point a^ est de la forme
n étant un nombre entier et ^f{^) une fonction synectique pour z =:a qui ne s'annule plus au -point a.
En eiï'et, nous avons
le résidu étant pris relativement à une aire assez petite pour que f[z) reste synectique dans son intérieur. La formule (i) peut encore s'écrire
— a — [œ — a) j ou bien, effectuant la division,
Z — a J ^ \\[z — a Y f[z) [x—aY
Supposons alors que la première dérivée dey(2), qui ne s'annule pas (33) au point a, soit la /2'^'"''- — i -il viendra (31)
ce qui montre que /(;r) est le produit de (,r — ^/)" par une fonction qui au point a devient égale à
et par suite qui en ce point est différente de zéro et finie.
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( 65 ), Lorsque la fonction synectique J'(^) pourra se mettre sous la forme {z — a)"cp(^), nous dirons que a est un zéro de l'ordre de multiplicité n de cette fonction.
40. Théorème V. — Si la fonction monodrome et monogène f[z) devient infinie pour z=za^ elle peut se mettre sous la forme
■ {z — aY ■
(f (^) ne devenant plus infini et différant de o pour z =a^ et n étant un nombre entier.
En effet, -j^j—. s' annulant pour js = a et étant monodrome et monogène, il en résulte (théorème III)
d'où
•^ ^ ^ {z — ay
n est ce que nous appellerons l'ordre de multiplicité de l'infini a de la fonction/'(^).
Remarque, — Nous voyons à présent qu'un résidu quelconque se ramène toujours à un résidu de la forme
41. Théorème VI. — Toute fonction f[z) continue^ monodrome et monogéne dans toute l'étendue du plarp^ devient nécessairement nulle et infinie pour des valeurs finies ou infinies de sa variable.
Il suffit évidemment de démontrer qu'elle devient infinie, car toute fonction monodrome et monogène peut être considérée comme l'inverse d'une fonction de la
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(66) même espèce, et, celle-ci devenant infinie, il est clair que la première passe nécessairement par zéro.
Cela posé, en désignant -pSiV f^"\[z) la première dérivée def[z) qui ne s'annule pas pour z = o, on a (31 )
