I.2.3,..«/(«)(0):r=— 1 l-ilL

/M chaque élément par ~^0,

M désignant le module maximum de/{^) sur le cercle le long duquel on intègre : nous aurons

ou bien

Cette formule est vraie quelque grand que soit r. Si donc on prend r=zoo, on trouve M = oo . Ceci prouve évidemment que f[z) lui^-même devient infini pour une valeur infinie de z.

Ainsi donc, si f{z) ne devient pas infini pour une valeur finie de ^, il devient infini pour une valeur infinie de sa variable, ce qui démontre le théorème en question.

Corollaire L — La fonction entière ne devenant pas

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( 67 ) nulle pour une valeur infime de sa variable, et étant du reste synec tique dans toute l'étendue du plan, doit nécessairement s'annuler pour une valeur finie de sa variable, ce qui démontre ce théorème ; que toute équation algébrique a une racine.

Corollaire II. — Une fonction continue^ monodrome et monogène^ passe au moins une fois par tous les états de valeurs^ ca.r f[z) — A, en vertu de ce que nous venons de voir, passe au moins une fois par zéro, et par suite /{ 5:) par la valeur A.

42. Théorème VIL — Deux fonctions monodromes et monogèneSy qui ont les niêmes zéros et les mêmes infinis au même degré de multiplicité^ sont dans un rapport constant.

En effet, le rapport de ces deux fonctions ne s'annule plus et ne devient plus infini pour aucune valeur de la variable (37).

Scolie, — Il résulte de ce théorème qu'une fonction est déterminée quand on donne ses zéros, ses infinis et sa valeur pour une valeur donnée de sa variable. Nous verrons dans la suite comment on peut déterminer cette fonction.

Théorème VIII. —- Toute fonction monodrome et monogène infinie pour z :=i a peut se mettre sous la forme

<^{z) ne s'annulant pas et ne devenant pas infini pour z =z a-^ QY on B.

■af

<^{z) — o{ci) est nul pour z :=z a et peut se mettre sous

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(68) la forme ^ (5;) X (^ -— ^Y- il en résulte

■{z—ay [z — aY [z — af-P

Si p n'est pas plus petit que 7z, on opérera sur

comtne sur , \ ? et ainsi de suite : donc toute fonction

[z — aY

monodrome et monogène infinie pour z = a peut se mettre sous la forme

^W +H5L,+... + F(.), (z—aY [z — aY

F (^) ne devenant pas infini pour z =: a,

A3. Théorème IX. — Toute fonction f[z) synectique dans toute V étendue duplan^ qui devient infime pour toutes les valeurs infimes de sa variable , est entière.

En effet, la fonction /(-) devient infinie pour

^=05 elle est donc de la forme

cd(^) ne devenant plus infini pour aucune valeur de z\ (p(^) est donc une constante, et alors /(-z) est de la forme

c'est-à-dire entière. c, q. f. d. ,

La fonction a^ n'est infinie que pour z infini, mais le théorème précédent ne saurait lui être appliqué parce que e* est fini pour certaines valeurs infinies de z\

aussi e^ n'est pas monodrome autour de l'origine.