Théorème X. — Une fonction monodrome et mono
( 69) gène qui n'a qu'un nombre limité d'infinis est une fraction rationnelle.
En effet, il est aisé de voir qu'on peut la mettre sous la forme
[z — aY [z — ay ' {.X — b)P
^[z) ne devenant plus infini et par suite étant une constante.
45. Théorème XL— Une fonction monodrome et monogène admettant un nombre limité de zéros est une fonction entière.
Expression^ au moyen d'un résidu, d^une fonction des racines d'une équation.
46. Théorème I. — Soient (p[z) une fonction monodrome et mono gène dans V aire K\ a, a^,^,,.^a,J'es zéros '^^'^^^<s.'>'*'? /3„ les infinis de cette fonction compris dans Vaire A-^ f(z) une fonction synectique dans la même aire : on aura^ en désignant en général par p l 'ordre de multiplicité de a et par q celui c?e j3 ,
le résidu étant pris relativement à Vaire A.
En effet, en vertu du théorème (3S) on peut poser
^{z)z=z{z— a]Pzn[z),
x^[z) étant une fonction finie et différente de zéro pour z = ot'^ on aura alors
^'(^) __Pi^ — a)^~'^(^) -h(z — a)Pxj^{z) <p(z) """ (z — (/,)Pm{z)
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OU
En multipliant les deux membres de cette équation par f{z) et en prenant les résidus par rapport à a, il vient
On trouverait de la même manière, en prenant le résidu relativement à |3 ,
En ajoutant les équations analogues à (2) et à (3), on trouve Féquation (i).
Si dans Féquation (i) on fait jf(2) = i, il vient
«' im ^
m désignant le nombre des zéros, n le nombre des infinis de ©(-s) contenus dans Faire A. On peut dire que le résidu
y ( ( (\ ) ) ^^Gp^éseiile la différence des zéros et des infinis dey(2^) contenus dans Faire A, en convenant de compter comme deux, trois, etc., zéros, les zéros doubles, triples, etc.
47. On peut déduire de la formule (4) un théorème très-remarquable dû. à Caucliy et qui permet de séparer les racines des équations. Cette formule peutsMcrire
c'est-à-dire
dz
pm
!^^,^ / J},\l,^[z)]dz:
l TV J î J
pni ■
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( 7x ) OU bien, remplaçant le logarithme par sa valeur et désignant par o) l'argument de c^ ( >s ) ,
i I 'Dz[lmod(f{z) -4- wY— I -h 2/'7r v^— ï ]dz
Or le module de la fonction synectique 9(2), ainsi que son logarithme réel, est une quantité qui revient au même point avec la même valeur quand z suit le contour de l'aire A ; Fintégrale
'ï)zlmoà^[z) dz
est donc nulle, et si Ton désigne par oj^ et o^^ les valeurs que prend l'argument w quand le point z part du point z^ et y revient après avoir fait le tour de Taire A, la formule (5) devient
(6) ^ (o^i - Wo) r^r^ pm —^qn ,
On peut donc énoncer le théorème suivant :
Le nombre des zéros, de (i^ [z) y diminué du nombre de ses 171 finis compris dans V intérieur d^un contour donnée est égal à la quantité dont varie V argument de o(z) divisée par stt, quand le point z se meut sur ce contour de manièxe à en faire un tour complet^ le sens de la rotation étant celui dans lequel on compte les angles en coordonnées polaires.
Ce beau théorème, qui à lui seul suffirait pour immortaliser le nom de Cauchy, est ordinairement énoncé d'une manière un peu différente dans le cas particulier où l'on considère une équation algébrique.
Soient cp(s) := X ~H Y y— 1 une fonction entière de
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z =: X. -hj s/ — I , A un contour fermé, m le nombre des racines de f[z) = o comprises à Finlérieur de ce con-
tour 5 soit i le nombre de fois que le rapport — • passe du
positif au négatif en s'annulant, i' le nombre de fois qu'il passe du négatif au positif en s'annulant, lorsque le point dont les coordonnées sont x elj décrit le contour A: on aura
Nous avons supposé dans les raisonnements précédents que sur le contour A il n'existait ni infini ni zéro de ^{z)-^ il est facile de voir comment^ dans ce cas particulier j il faudrait modifier le théorème de Cauchy.
L'intégrale
l7cJ~lJ ?{^)
dZy
prise le long du contour A, serait égale au résidu
relatif à l'intérieur de Faire A, augmenté delà moitié des résidus relatifs aux zéros ou aux infinis compris sur le contour même (32), dans le cas où ce contour n'aurait pas de points anguleux, et d'une quantité différente pour les zéros placés aux sommets des points anguleux, quantité déterminée par le tbéorème (32) 5 en sorte que Féquation (6) devrait être remplacée par la suivante.
(w, -— Woj
ITT
Dans cette formule, ^ est le nombre des zéros du con»
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(73) lour A, V le nombre de ses infînis, /', s leur ordre de multiplicité*, - estle rapport de l'angle des tangentes au contour, en un point 011^(2) s'annule, à quatre droits 5 -r est le rapport analogue pour un point où (jp [z) devient infini.
Discussion de V équation f[z^t)=o.
48. Supposons que la fonction /^(.^j t) reste synectique par rapport à z et k t quand z varie à l'intérieur d'un contour A et ï à l'intérieur d'un contour B, désignons par X une racine de l'équation
résolue par rapport à ^ et contenue dans l'aire A: nous aurons (46)
p désignant Tordre de multiplicité de la racine x, et le résidu étant pris à l'intérieur d'un contour contenant la seule racine j: de l'équation (i). Le contour en question existera toujours, si les racines de l'équation (i) ne se trouvent pas infiniment rapprochées, c'est-à-dire formant courbe continue; mais cette hypothèse doit être rejetée, car alors la fonction f[z^ t) étant nulle dans une portion finie de Faire A le serait dans toute l'étendue de cette aire.
L'équation (2) montre que si x conserve son ordre de multiplicité quand t varie, cette racine sera une fonction synectique de ï (25)^ il en sera de même de ^ — -x, et J'[z^ t) divisé par [z — xY sera encore une fonction synectique de X pA àe t ,
Dans ce qui va suivre, nous supposerons que la fonction
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• ( 74 ) f[z^ t) ait été divisée par tous ses facteurs de la forme [z~xY^ en sorte que Féquation (i) n'ait plus de racines multiples pour toutes les valeurs de t. La formule ( 2) sera alors remplacée par
Cette équation montre que toute racine de Féquation (1)5 contenue dans Taire^ A, est une fonction synectique de f, pour toutes les valeurs de t pour lesquelles il sera possible de tracer un contour contenant la seule racine x de l'équation (1)^ c'est-à-dire à l'intérieur de tous les contours décrits dans Faire B qui ne contiennent pas de points t pour lesquels Féquation (1) acquerrait des i*acines multiples.
Ce théorème important a été établi d'une manière différente, et pour la première fois, par M. Puiseux [Journal de Mathématiques de M. Liouville, t. XIV) 5 avant lui, Cauchy avait démontré {Exercices d'Analyse et de Physique mathématique) que les racines de Féquation (i) étaient des fonctions continues de t,
M. Puiseux, dans le Mémoire que nous venons de citer, examine ce qui se passe dans le voisinage de ces points pour lesquels Féquation (1) admet des racines égales. Sans entrer dans autant de détails que lui, dous ferons simplement observer que si au point t^ Féquation (i) acquiert une racitje double ou triple..., c'est qu'en ce point deux ou trois... racines différentes sont venues se rencontrer. Quand le point t tournera autour du point Z^, il pourra se faire que la racine x reste monodrome, mais le plus souvent il arrivera, comme on peut le constater sur Féquation
que toutes les racines, ou seulement quelques racines, se
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( 75 ) permutent les unes dans les autres. M. Puiseux a étudié principalement les diverses manières dont variaient ainsi les racines des équations a]gébric[ues. Cette étude présenterait, je crois, de grandes difficultés pour les équations transcendantes.
Nous terminerons ce chapitre par un théorème remarquable sur les fonctions non monodromes, démontré dans le Mémoire de MM. Briot et Bouquet inséré dans le XXXVP cahier du Journal de V École Polytechnique.
49. Théorème. — Toute fonction monogène ^ q%ii n'admet qu^un nombre limité d'infinis et qui admet m valeurs pour chaque valeur de sa variable^ est racine d'une équation algébrique.
En effet, soient ii^^ii^^ » . . ^Uj^ les m valeurs de cette fonction, elle satisfera évidemment à l'équation
mais les coefficients de cette équation sont symétriques en Ml, Mg, * ' ", Umi ce sont donc des fonctions monodromes et monogènes qui n'admettent qu'un nombre limité d'infinis, et, par conséquent, des fractions rationnelles (44). En chassant les dénominateurs de ces fractions, on tombe sur le théorème qu'il s'agissait de démontrer.
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