APPLICATION DU CALCUL DES RÉSIDUS A LA THÉORIE DES SUITES

Notions élémentaires sur les séries,

SO. On appelle série une suite illimitée de termes qui se suivent et se forment d'après une loi déterminée.

On dit qu'une série est convergente, quand la somme de ses n premiers termes tend vers une limite finie lorsque n augmente indéfiniment, en suivant du reste une loi quelconque. Cette limite est ce que Ton si^i^eWelâ valeur de la série, ou encore la somme de ses termes.

On dit qu'une série est divergente, quand la somme de ses n premiers termes ne tend vers aucune limite lorsque n augmente indéfiniment, ce qui peut tenir à deux causes :

1° La somme des termes en question croit indéfiniment, comme dans la série

1^ La somme des termes prend une forme indéterminée, comme dans cette autre série

I — iH-i — i-f-i — i + i — iH-...,

dans laquelle la somme des ?i premiers termes est aller*' nativement i, o, i, o, . . . . On comprend actuellement pourquoi, dans la définition des séries convergentes, j'ai ajouté que n devait suivre une loi quelconque, car dans la série que je viens de considérer, lorsque n est pair ou impair, la somme des termes tend dans l'un et l'autre cas vers des limites déterminées o et r.

Hosted by

Théorèmes sur la convergence.

M . Théorème I. — Pour qu une série soit convergente^ il faut que ses termes diminuent indéfiniment.

En effet, soit la série

1^0 -4- «i H- 1^2 •-+- «3 + . ' • 4- «■« -1- • • • • Soit en général Sn la somme des n premiers termes, on a

(l) Sn+,~Sn~ l/w

Si la série proposée doit être convergente et avoir pour somme 5, on a par définition même de la convergence

lim Sn = s ; donc

lim Sn+i — lim s^ = lim (^„+, — s^) = o.

Donc, en vertu de l'équation (i),

lim Un=z o .

Remarque L — La démonstration que nous venons d'employer, comme du reste toutes celles que nous emploierons dans l'exposition de ces principes, est basée sur le calcul des limites -, elle précise le sens que nous devons attribuer à la locution diminuer indéfiniment. Quand nous disons que Un doit diminuer indéfiniment, nous devons entendre par là que cette quantité, réelle ou imaginaire, doit avoir zéro pour limite, rien de plus : ainsi z/„ peut tendre comme on veut vers zéro ^ il n'est nullement nécessaire, par exemple, que l'on ait Un ^ ^n+i ^ Un+2 ^ . . . .

Remarque IL — On aurait également pu écrire les équations suivantes :

lim s n+p^=^ s ^ lim Sn=^ s-,

Hosted by

(78) d'où, retranchant la deuxième de la première,

ce qui conduit à ce résultat :

Pour qu'une série soit convergente^ il faut que la somme des p termes qui suivent le n'^^"^^ diminue indéfiniment quand n augmente indéfiniment^ quel que soit du reste p.

La réciproque n'a pas encore été démontrée nettement.

Remarque III . — 11 existe des séries dans lesquelles z/„ peut tendre vers zéro sans que la série à laquelle appartient ce terme soit convergente, et, par exemple, considérons la série suivante, appelée série harîuonique :

IH }-77-{-y + -?-!-. ..H i

Il est facile de s'assurer que celte série est divergente, car si Ton prend n termes après le n.'^'"^, la somme

.Jl , ,JL^ , , 1 , ,

n-{- î 72 -f- 2 " in

est plus grande que — ^ répété n fois, c'est-à-dire que -•

Si donc on groupe les termes delà série harmonique ainsi qu'il suit :

/2-f-ï/ /2-1-2 in

on aura une infinité de groupes plus grands que -• Donc

la valeur de la série harmonique est la limite d'un nombre qui croît indéfiniment, ce qui veut dire que cette série est divergente.

Hosted by

( 79 ) 11 arrive souvent que l'on rend une série convergente par un simple changement des signes de quelques-uns de ses termes. Ainsi la série