III
est convergente. En général :
52. Théorème II. — Si àan$ une série les termes sont, à partir d'un certain terme^ indéfiniment décroissants et alier-nativement positifs et négatifs^ cette série est convergente.
En effet, considérons la série
W, 4- «3 H- ... -F Un ~~ Uji-hi + Un+2 • • • ^ Un^p "ZÇ, Un+p-^\ Ht. . . ,
dans laquelle les termes sont indéfiniment décroissants et alternativement positifs et négatifs à partir du terme w„.
Appelons en général S,„ la somme des în premiers termes de la série. Si nous r-emarquons que les termes vont constamment en diminuant, les quantités
seront toutes positives, et, par conséquent,
les quantités — u^+i -f- z^^+s? • • . , — w„+2p-i "+" "«-*-2p - - -> seront loutes négatives, et, par suite,
Or
Donc S„+2p est plus grand que Sn+'ip-\i et, par suite, à cause de la suite d'inégalités (i), plus grand que S^^^j. Ainsi donc une somme quelconque comprise dans la suite S„4.2, S„4.4, S„4.6j . V . , est plus grande que S„^i -, il en résulte que
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( 8o) ces sommes allant constamment en décroissant et restant supérieures à S„^i qui est fixe, ont une limite S. Or, on a
Si nous supposons p très-grand, le premier membre a pour limite S, car w„+2p+i a pour limite zéro ; donc S„4.2p+i a pour limite S également ; donc enfin, de quelque manière que croisse l'entier m, S^ a une limite -, donc enfin la série proposée est convergente.
Ce théorème est fréquemment employé dans la théoi^ie des suites infinies.
53. Théorème IV. — Quand une série à termes positifs a ses termes respectivement plus petits que ceux d'une autre série également à termes positifs^ et de plus convergente, la première série est aussi convergente.
Soit, en effet,
( l) cV =rr Wo -f- tt, H- «2 -f- . . . -+- Un -}-...
la série convergente donnée (on représente ordinairement une série convergente en séparant la somme d'nn certain nombre de termes de sa valeur par le signe =, on supprime le mot lini)^ et
la série proposée. Soit 5„ la somme des n premiers termes de la série (i), /„ la somme des n premiers termes de la série (2) • comme (^0 <C '^o^ ^1 <^ ^'15 • ■ • ? ^n <C! ^«v ^^ ^ évidemment
donc à fortiori
Or, n croissant, t,, croit, mais t^ reste constamment inférieur à s 5 donc, en vertu d'un principe sur les limites, /„
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(8i) a une limite^ donc la série (2) est convergente. Ce qu'il fallait démontrer,
S4. Théorème V. — Une série à termes positifs etnègatifs est convergente lorsque la série des valeurs absolues de ses terfïtes est convergente.
En effet, considérons à part les séries des termes positifs et des termes négatifs pris dans l'ordre dans lequel ils se succèdent dans la série proposée.
Soit
( 1 ) ÛQ-\- a^ -h a.^-h . . . -h ai -\- . . .
la série des termes positifs, et
(2) éoH-^, H- . ..-f- bk-\~.,\
celle des termes négatifs pris chacun en valeur absolue*
Soit Xi la somme des ^ premiers termes de la série (1), fi la somme des h premiers termes de la série (2), et s,^ la somme des n premiers termes de la série proposée. Nous pouvons toujours supposer que «o, aj,..., a, soient les termes positifs de s,^ et ft^, Z>i, . . . , &7, les termes négatifs ^ alors on a^, en appelant /„ la somme des n premiers termes de la série proposée rendus positifs,
(3) s\^^.xi-^y,,,
(4) Sn = Xi — Jk.
L'équation (3) montre que s\, est plus grand que >r, et que ji,\ donc à fortiori la limite de /„, qui par hypothèse existe, est supérieure à Xi et à yi. Or Xi et y^^ sont des nombres croissant avec i et Te, mais constamment inférieurs à la limite de 5J, -, donc ils ont une limite chacun ; donc les séries (i) et (2) sont convergentes. L'équation (4) montre que s^ a une limite égale à la différence des limites de Xi et f/,, c'est-à-dire que la série proposée est
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( 82 ) convergente et a une valeur égale à la différence des valeurs des séries de ses termes positifs et de ses termes négatifs.
55. Théorème VI. — Quand une série ne perd pas sa convergence lorsque Von rend tous ses termes positifs^ on peuty sans altérer sa valeur ^ intervertir V ordre de ses termes.
En effet, considérons d'abord une série convergente à termes positifs,
( I ) s Z= Uq -\- Ui -h U2 -\- ^ . . -\- U,n -\- . . . .
Intervertissons l'ordre de ses termes, et soit
la nouvelle série obtenue après ce changement. Soit s[, la somme des 71 premiers termes de la série (2)^ 5,„ la somme des m premiers termes de la série proposée; on pourra toujours choisir m de telle sorte que tous les termes de 5',, soient contenus dans les m premiers termes de la série (i). On aura alors
s,,<s,n et /„<lim5;;, ou <;.s-.
Nous voyons par là :
1^ Que la série (2) est convergente, puisque s[, croit avec 71 sans dépasser s 5
2^ Que la valeur 5' = lim/^de la série (2) ne saurait surpasser s. Or, on démontrerait de la même manière que la valeur s de la série (i) ne saurait surpasser s^ ] donc on doit avoir
donc la série (i) n'a pas changé de valeur. Ce qu'il fallait démontrer.
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( 83 ) Supposons actuellement la série
(f) s = Uo -h Ui -]- U2-h' ' --h Un -\--. , ' ,
à termes quelconques.
Soient
( 3 ) riQ -\- ai -\- a^ -h . . . -\- ai -\- . ' .
la série de ses ternies positifs, pris dans le même ordre que dans la série (i)',
(4) b,~\- bi-\-. ..-h hk-h
la série de ses termes négatifs également pris dans l'ordre où ils se trouvent dans l'équation (i). Supposons que la série (i) conserve sa convergence quand on rend ses termes positifs. Les séries (3) et (4) sont convergentes (54), et si X etj désignent les valeurs respectives de ces séries, on a
Cela posé, changeons Tordre des ternies de ]a série (i); la série de ses termes positifs sera encore la série (3), à Tordre des termes près. Or, cette série est à termes positifs; donc elle conserve sa valeur. Même observation pour la série des termes négatifs, et pour la série des valeurs absolues des termes de la série (i). Il en résulte, d'après le théorème IV, que la valeur de la série (i) transformée est encore x— j] donc la série (i) ne change pas de valeur quand on change Tordre de ses termes. Ce c[u'il fallait démontrer.
Remarque, — Toute cette démonstration repose sur l'égalité (5) ; lors donc que x ouy n'existeront pas, c'està-dire quand la série proposée ne jouira pas de la propriété suivante : d'avoir les séries de ses termes positifs et négatifs convergentes, la démonstration précédente
tombera eu défaut. Il est facile, du reste, de donner un exemple dans lequel on voit une série changer de valeur quand on change l'ordre de ses termes.
Considérons, par exemple, la série convergente
[voir u^ 3)
r h- — 7-4-P+. . .nz-qz — — zl:
Remarquons que la série des valeurs absolues de ses termes est identique avec la série harmonique qui est divergente.
Posons
et considérons la série ,111111 I I I
I 3 2 5 7 4 * 4^^ — I /{ri-\-i
Arrêtons-nous au terme — ; cette série, comme on voit,
renferme les mêmes termes que la série proposée 5 leur ordre est différent, et l'on prend d'abord deux termes positifs, puis un terme négatif, puis deux termes positifs, puis un terme négatif, etc. -, nous am^ons
3 3 qn — i q.n -{- i in
La quantité qui suit f{n) composée de n termes est évidemment plus fifrande que n X 7 ou que On
^ ^ ^ Lin ~h 1 ' , I
n a dpnc
» < /l *■> „^ T /l II L T O »J -^ ^ '
(85) Si nous supposons que n devienne infini, le premier membre de cette inégalité ou la valeur de la série (2) difïérera de lim/(^) ou de la valeur de la série (i) de
plus de -7: donc évidemment la série (2) a une valeur
toute différente de la série (i).
56. Jusqu'ici nous n'avons guère parlé que de séries à termes réels : mais on fait un fréquent usage en analyse de séries à termes imaginaires.
Une série à termes imaginaires peut se mettre sous la forme
i (mO-4-('oV/— + («l + ^lV'— l) "+-(^^2-l-t'2V/— +• • •
Cette série sera convergente si les deux séries
(2) ih 4- «, H- «2 -H • • . -+- î^„ -t- . . . ,
formées des parties réelles et des coefficients de y'— a de tous ses termes, sont toutes deux convergentes.
En effet, soit s^ la somme des n premiers termes de la série (i), or„ et r,, les sommes des n premiers termes des séries (2) et (3), on a
En passant aux limites et en désignant par c et t les va leurs des séries (2) et (3), on voit que
lim 5^ — ; c H- T sj — I ;
donc la série (i) est convergente. Ce qu'il fallait démontrer.
Ptemarque, — Il est clair que si Tune des séries (2) ei (3) eût été divergente, la série (i) Teût été pareillement,
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( 86) 57. Théorème VIII. — Dans une série à termes imaginaires ^ si la série des modules des différents termes est convergente ^ on peut j, sans altérer sa convergence ^ intervertir l^ ordre de ses termes.
En effet, considérons la série (i) du numéro précédent. Les séries de ses termes réels et des coefficients de y — i sont convergentes indépendamment des signes de leurs termes, car ceux-ci sont respectivement plus petits que ceux de la série des modules qui est à termes positifs. On peut donc changer Tordre des termes de ces séries sans en altérer la valeur, ce qui revient à dire que Ton peut changer l'ordre des termes de la série proposée elle-même. Ce qu'il fallait démontrer.
Des calculs que l'on peut effectuer sur les séries.
