Théoriîme t. — Si Ton considère les séries convergentes

A = ao-h ai

. .■+ an-{-. . .

C = Co + c,

la série dont le terme général est ?/„ = di. «„ =b &„ ih c„ . . . est convergente et a pour valeur dz A dz B ± C . . . .

En effet, on a

Si lîon suppose que n augmente indéfiniment, on voit que 2\ '^ ^ ^ï^G limite égale à ± A ± B dz G. . . , ce qui démontre le théorème énoncé.

Théorème IL — Si la série

s z=^ Uq ~\~ Ui ^ . . , ~\~ U,i -f- . . ,

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( 87) est convergente et a pour valeur s,

aii(f-{- aui -h . . ,-h- aUn -+-..»

sera convergente et aura pour valeur as.

En effet,

y (au)z=:a\ a.

Donc, si n augmente indéfiniment, ^ {au) a une li-

mite égale à a\im.\^ ii ou à as. Ce qu'il fallait dé-

montrer.

Théorème III . — Si la série suivante est convergente et à termes positif Sy

5" nr «0 + M, -f- «2 -{- . . . -f- «rt . . . j,

et si aQ^ a^^ , . . ^ a^ que k^ la série

sont des nombres positifs moindres

sera convergente.

En effet, cette série a ses termes respectivement plus petits que ceux de la série convergente

As z= Auq -[- Au^-h ^ . .-h Aun-h . . -5

qui est aussi à termes positifs. — Il est aisé de voir que ce théorème ne peut pas être généralisé. Cependant Abel a démontré que le théorème précédent était encore vrai pour une série quelconque, si les nombres /^o, a^ ^2,... allaient constamment en décroissant; on a en effet dans cette hypothèse, en posant

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(88) les relations suivantes :

et par conséquent, en portant ces valeurs dans l'équation {2),

t^ =: a^S^ -4- fl, (5, ■— 5o) -h ... 4- û',, [Sn — .?o)?

ce que l'on peut écrire ainsi :

Dans cette équation, les coefficients de ^o, 61 5.. . sont tous positifs, car «o? ^ir« • • vont en décroissant; mais si B désigne une moyenne entre les quantités Sq^ ^^ , . . . . ^„ , on aura

, 4 — Ô[(^o"- ai) -+- {a^—a,)-\-, . .-!-«?„] OU

Or, ;^ augmentant indéfiniment, 9 conserve une valeur finie comprise entre celles des quantités Sq^ 5i , . . , , .v„, . . ., qui ont le plus grand et le plus petit module. Donc f,j conserve une valeur finie 5 donc enfin la série (2) est convergente. Ce qu'il fallait démontrer,

59, Théorème IV. — Si les séries

(1) ^ z=r: Wj) -+- W| 4- ^2 -f- . . , -f- ;«,i -f- , . , H- . . . 5

sont convergentes, la série dont le terme général est

est convergente et a pour valeur st dans certains cas que nous ^ allons examiner.

1° Supposons d'abord les séries (i) et (2) à termes po-

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(89) silifs; nous aurons

Considérons maintenant le produit ^ "'2 ^* "^^

terme de ce produit dans lequel la somme des indices est la plus élevée est 2m. Si donc 2m est moindre que ^ -}- i,

ou si m est le plus grand entier contenu dans 9 tous

les termes de ^^ "-51 ^ ^^ trouvent compris dans >^ w. On a donc

Or, en vertu de l'égalité (3),

Mais si Ton suppose que mein augmentent indéfiniment, 'Vii.'V P'et^ ^'Z\ ^ tendront tous deux vers st,

Alors 2 w, qui reste compris constamment entre ces

deux produits, tendra aussi vers cette limite. Le théorème qui nous occupe est donc démontré pour le cas où les séries (i) et (2) sont à termes positifs.

2^ Supposons que les mêmes séries ne perdent pas leur convergence quand on rend leurs termes positifs. Considérons d'abord les termes des séries (i) et (2) en valeur

absolue. Tout ce qui dans l'égalité (3) suit X ^ ^ pour limite zéro, car 51 '^'i ^ ^^ 51 ^^' ^^^^ môme limite,

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( 90 ) d'après ce que nous venons de voir tout à l'heure. Il eu sera encore de même à fortiori quand on aura rendu aux termes des séries (i) et (2) leurs signes respectifs. Par conséquent, si dans l'égalité (3) nous supposons que ii augmente indéfiniment, alors il vient, en passant aux limites,

St:

lim ^ w,

ce qui démontre que le théorème est encore applicable dans le cas où les séries ne perdent pas leur convergence quand on rend leurs termes respectifs.

3*^ Considérons enfin le cas où les séries (i) et (2) seraient à termes imaginaires» Nous supposerons les séries des modules de leurs termes convergentes, et nous poserons en général

Un = Pn (cosa„ + sj — I sin a„), Vn :=. qn (cosp„ ~\- sj — I sin p„).

Alors^ en vertu de ce que nous avons examiné dans le premier cas, la différence

aura pour limite zéro 5 il en sera de même à fortiori de la quantité

pi (cosai -4-^/— I sina()x ^„ (cosa„ -H y — i sina„)

+ /?2(cosa2 + v/— I sin as) [^„i(cosa„i\/— i sina„,) -4--..J

qui n'est autre chose que WiP'g^- z/2 (^'n-i + ^'n) -h. . . • L'ëgalité (3), en passant aux limites, fournira donc

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encore

st z=z lim 2\ ^î

et le théorème est encore vrai dans ce dernier cas.

60. Toute progression géométrique décroissante est une série convergente.

En effet, soit la progression

T « I ax : ax^ : aœ^ t » . . I cix'^ ', ... ;

la somme des n premiers termes est

Si X est plus petit que r, le terme tend vers zéro

quand n augmente indéfiniment, et par conséquent la somme des n premiers termes de la progression a pour

limite : c'est donc une série convergente.

Dans le cas où x serait égal à i ou plus grand que i, il est clair que la progression serait une série divergente.

61. Si Von a deux séries à termes positifs^ Vune convergente^

et Vautre^

telle^ que le rapport d'un terme au précédent^ -~? soit con-

stamment inférieur au rapport correspondant -^^ dans la première, cette dernière est convergente.

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( 9^ ) En effet, la série (i) étant convergente, la suivante le sera aussi :

^0 H «I H ^2 H- . • . H f^n H <^«-hi -f- . . . ,

ce que Ton peut aussi écrire

(3) hç,-^ h, 1- ^0 h. . .+ ^0 • !-.•••

On voit alors que la série (2) peut se mettre sous la forme

/''oH- t>o 7- -f- i^oT-'r- +. . .+ ^0 7 ■'-, • . .7- -4-. . ~;

or cette série a, en vertu de notre hypothèse, ses termes respectivement moindres que ceux de la série (3), qui est convergente; donc la série (2) est elle-même convergente. Ci Q. F. D.