La série , - I I I II

^ ' i^' 1^ ■ 3^ n!' [n -4- ij^

est convergente ou diveî^gente selon que k est plus grand ou plus petit que i.

En effet, supposons d'abord k plus grand que i , la série précédente peut s'écrire, en groupant les termes, ce qui n'altère pas la convergence ou la divergence de la série, puisqu'elle a ses termes positifs (10), de la manière suivante :

Si Ton suppose k^i^ le terme général de la nouvelle série est moindre que -^. répété 2" fois, c'est-à-dire moindre que — T?— rr; les termes de cette série sont donc moindres que ceux de la progression géométrique décroissante II I

elle est par conséquent convergente (16).

Si au contraire A:<^i, alors la série (2) a ses termes plus grands respectivement que ceux de la série harmonique*, elle est donc divergente dans ce cas.

Corollaire. — - Dans la série (i) le rapport d'un terme

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(94) au précédent est de k forme

[n H- if * n''

si k est plus grand que i .

Cette quantité est évidemment moindre que Si

donc y dans une série , le rapport d'un terme au précédent peut se mettre sous la forme 5 et si n a tend vers une limite k

plus grande que i, cette série sera convergente.

Formule fondamentale, 64. Reprenons la formule du n^ 46,

dans laquelle le résidu est pris à l'intérieur d'une aire A pour laquelle c9(-s) elf[z) i^estent synectiques, et dans laquelle cfi, a^,^,,, sont les zéros de ç(^)', pi, p^,,,, leur ordre de multiplicité; jS^, (Sa, ... les infinis de (p [z) • ^1, ^25» • • leur ordre de multiplicité.

Lorsque dans Taire A il y aura une infinité de zéros ou d'infinis de ^ [z],, le second membre de l'équation (i) deviendra une série que l'équation (i) pourra servir à sommer. Mais avant de faire u§age de cette formule, il faut examiner les conditions de son emploi.

Traçons d'abord un contour a ne contenant qu'un nombre limité de zéros et d'infinis de la fonction y, on pourra à ce contour appliquer la formule (i)-, si nous déformons ensuite ce contour peu à peu, de manière à le faire coïncider avec le contour A, ou de manière à lui donner des dimensions illimitées, les deux membres de

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(95 ) réquatioii (i) ne cesseront pas d'être égaux, mais ils tendront tous detix vers des limites différen les avec la manière dont on déformera le contour a.

Il faudra donc avoir soin d'écrire dans le second membre de Téqualion les différents termes, dans l'ordre dans lequel ils viennent s'ajouter, à mesure que Ton fait croître le contour a\ et, en effet, on sait qu'une série peut changer de valeur quand on intervertit Tordre de ses termes.

Application de la formule (i) à la sommation des suites infinies.