Occupons-nous d'abord de l'équation
La question à résoudre est celle-ci : Déterminer une quantité delà forme a -{- |3 v/ — i de telle sorte que^ mise à la place de x^ elle change V équation (i) en une identité.
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Remplaçons alors x par a-hjSv — i, et pour plus de généralité a par /?/ -|- n y — i ] ce et ^ seront deux inconnues à déterminer à l'aide de la relation
(a -I- Pv^— 7)' — 772 + n v/^^,
ou bien, en développant,
d'où l'on lire, en vertu de nos conventions,
/ ex.''— ^2==: m,
Nous cliercbons pour a et (3 des valeurs réelles qui satisfassent aux équations (2). On voit sans peine que si ces valeurs réelles existent, a^ et — (3^ seront racines de l'équation du second degré
et, par suite,
Les doubles signes se détermineront par la condition que a|3 soit de même signe que n^ et que les quantités placées sous le radical soient positives. Une discussion facile montre que l'équation (i) n'a jamais que deux, racines et en a toujours deux.
Nous venons de résoudre, en trouvant a et j3, le problème suivant : Trouver une quantité x telle ^ que son carré soit égal à une quantité donnée a. Cette quantité x
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est ce que nous appellerons la racine carrée de a. Nous la désignerons par le symbole y a. Nous aurons ainsi
et, en explicitant les signes de m et de n, une discussion facile conduit aux quatre formules :
vVH-^^s/-.=.±(y/|+Yfl
Maintenant que nous savons extraire la racine carrée d'une quantité quelconque, la résolution de l'équation complète du second degré n offre plus de difficultés. On
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( i3 ) fera les mêmes raisonnements que dans le eas où les racines sont réelles.
En faisant b z= o dans la dernière des formules (3), on trouve
ce que l'on admet ordinairement dans les Traités d'Algèbre (et à tort) sans démonstration.
Représentation géométrique des quantités imaginaires,
5. Traçons dans un plan deux axes rectangulaires Ox^ Oj et considérons la quantité imaginaire a: + yv — i. Celte quantité étant donnée, elle détermine un point dont l'abscisse serait x et l'ordonnée/. Aussi dorénavant nous appellerons j9om^ ^-1-r V — i celui dont les coordonnées sont X elj.
Nous dirons que le point x -\- y \l — i décrit une courbe A quand le point dont l'abscisse est x et l'ordonnée j^ décrit cette courbe en vertu d'une équation donnée entre x ely*
Si nous prenons des coordonnées polaires, nous pourrons poser :
jc"^ -\- j"^ -= /-%
cosô,
sjx'
l^yl
sjjc-
arc tang — =
et x-\-'y^ — I pourra s'écrire sous la forme x-^ys^— I = /-(cosô -h s/— I sinô).
r s'appelle le module, l'argument de X'\-j^ — i, et on
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voit que l'expression /'(cos^-f-y — i sînô) peut être censée représenter un point dont serait l'angle polaire et r le rayon vecteur.
M. Mourey propose de représenter une quantité imaginaire (/^cosô-h V^ — I sinô) par une droite de longueur r, faisant avec un axe fixe Fangle 9. Les quantités réelles seraient alors représentées par des parallèles à l'axe fixe.
On conçoit difficilement comment une droite peut représenter une imaginaire, au premier abord, mais c'est à cause des idées fausses que l'on conserve malgré soi sur les imaginaires quand on a calculé sur ces quantités sans prendre toutes les précautions que nous avons prises jusqu'ici.
Rappelons-nous que x -{- j \ — i est un assemblage de deux quantités séparées par le signe y — i, qui n'est pas la racine de — i mais une simple marque de séparation, et rien ne nous empêchera alors de représenter l'ensemble des deux quantités x et j ou x -hj y — i comme nous venons de le faire.
L'avantage qu'offre la représentation géométrique de M. Mourey se trouve dans le théorème suivant :
Théorème. — La somme de plusieurs imaginaires est représentée par la résultante des droites qui représentent ses parties.
Considérons, en effet, les imaginaires Xi-j-jiS/ — i,
«^2 -i-^Ta V^ — '5 ^3 +^^3 V — ï? Composons les droites
qui représentent ces imaginaires : soit ^ 4- yj \/ — i leur résultante, nous aurons, en projetant tout le polygone sur les axes des x et des j-,
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( '5) et^ par conséquent,
Il résulte de ce théorème que le module d'une somme est moindre que la somme des modules de ses parties. Car tous les modules en question sont les côtés d'un même polygone fermé, et le côté qui est égal au module de la somme est nécessairement moindre que la somme des autres.
On verrait de la même manière que le module d'une différence est plus grand que la différence des modules de ses parties.
Formule de Moivre.
6. Si nous multiplions l'une par l'autre les expressions /'i (cos^i -f- sin^i v^ — i) et r^^cosO^-h s/ — i sinôg)? nous trouvons
/-(ra^cosG, COS02 — sinô, sinôaJH- \/ — i (sinôiCOSÔa+cosG, sin92)],
c'est-à-dire
T\ r^ [ces ( 9, H- Ô2) + s/'^ sin{Bi-\-6^)].
En multipliant ce résultat par r^ [cosO^ -+- y — i sin^a), nous trouverons
r^ r,r3 [cos(0, + 02 + Ô3) + s/~^ sin(ô, H- 02 + 0,)],
et ainsi de suite. On peut donc énoncer le théorème suivant :
Théorème I. — Le module d'un produit est égal au produit des modules de ses facteurs , son argument est égal à la somme des arguments de ses facteurs.
Théorème IL — Le module d'un quotient est égal au quotient des modules du dividende et du diviseur-^ son argu-
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( i6) ment est égal à la différence des arguments du dividende et du diviseur,
Eli vertu du théorème I, si l'on fait le produit de m facteurs égaux à cos0 -+• sj- — i sin0, on trouve
(cos0 -h \J — I sinS)"' := cos/wô 4- sJ — i sin/Tzô.
C'est cette formule remarquable qui porte le nom de formule de Moivre,
La formule du binôme de Newton s'applique évidemment aux imaginaires, et alors la formule de Moivre peut s'écrire
cos"'0 -}- y/— I . m cos'"~' sin 9 — . . . = cos/w H- \/— i sin m 0,
d'où Ton conclut
cosm =r ces'" ^ cos'"-2 sm^0 + . . . ,
sinmB = m cos'^~* sin — ....
Nous ne nous arrêterons pas à ces formules, notre but étant de nous attacher seulement à la théorie des imaginaires.
Des radicaux.
7. Jusqu'ici nous avons remarqué une analogie frappante entre le calcul des imaginaires et le calcul des quantités réelles. Nous allons voir que cette analogie n'est pas complète.
Définissons : racine 72'^'"'' de la quantité réelle ou imaginaire A, la quantité x = r (cos9 + y/ — i sin^j qui, élevée à la puissance n'^'"^, reproduit A. Nous aurons
[r(cos0 -4- v/— I sin0)]"=: A,
OU, en vertu de la formule de Moivre,-
r" (cos/2 -f- \J—i sixinB) = A.
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( ï7 ) Si A est de la forme p (cosoo 4- sj—i sinco), on voit que
r" COS/2 =r: p COSW,
d'où Ton tire
et
nd -- M + 1 m TV
