Théorème I. — Si la série

il): ^^'^ ci^ X -h a. x'^ --h ... -4- a^ x'^ H- . . . ,

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dans laquelle a^, «j,... sont indépendants de x, est convergente pour le module R de x^ elle Vest encore pour tout module moindre.

En effet, si la série (i) est convergente pour le module Rde X, ses termes tendent vers zéro, et; par suite> ont tous des modules inférieurs à un nombre déterminé. Soit alors ^ une valeur de x ayant un module moindre que R. La série

(^) ^-^R ' \RJ VR

sera convergente, ainsi que la série formée des modules de ses termes ; si donc on multiplie ses termes respectivement par Uq, ai R^ agR^,..., la série ainsi obtenue,

quand on réduira ses termes à leurs modules, sera formée des modules des termes de la série (2) multipliés respectivement par les modules de a^, «iR,..., â5„R", qui ne croissent pas indéfiniment, elle sera donc convergente.

On démontrerait d'une manière analogue que si la série (i) est divergente pour le module R de x, elle Test encore pour tout module de x plus grand que R.

77. Corollaire. — Il résulte de là que la série (i) est' convergente pour toutes les valeurs du module de x inférieures à un certain nombre R, en d'autres termes pour toutes les valeurs de x comprises à l'intérieur d'un cercle de rayon R décrit de l'origine comme centre.

Ce cercle a été appelé par Cauchy cercle de convergence de la série ^ son rayon porte le nom de rayon de convergence.

Théorème II. — Il résulte de là et du théorème (73) que la série (1) représente Une fonction synectique à Vinté-

( ,i3) riem^ de son cercle de convergence. Caucliy a démontré celle proposition direclement. '