Thèoeème III. — - Si les deux séries
( I ) /7o -{- «J, j: + (72 «^2 -i- . . , -f- a^x" + . . . ) (2) ^oH-^i^+ <^2.^' +...H- ^„^"-f-
sont égales le long d''un certain contour^ si petit que Von voudra du reste, elles sont encore égales pourx===o^ et^ par conséquent^ on aura en général a^^^^h^.
En effet, ces deux séries représentent deux fonctions synecliques à l'intérieur de leur cercle de convergence: or deux fonctions synecliques égales dans une portion finie quelconque du plan sont constamment égales (34); donc l'égalité des deux séries a encore lieu pour xz=io. Cela posé, si on les différentie ii fois toutes deux par la règle indiquée (73), et si l'on fait ensuite .x =: o, on trouve
i . 2 . 3 . . . /2<7„ rrr I , 2 . 3 . . . nhn
OU
<7„rr: ^„. c. Q. F. D.
79. Théorème IV. — Une fonction synectique ne peut pas être développée de deux manières en série ordonnée suivant les puissances entières et positives de sa variable.
D'abord, en vertu du théorème précédent, à Fintérieur d'un même contour on ne peut avoir qu'un seul développement possible -, si l'on en trouvait deux, on pourrait égaler les coefficients des mêmes puissances de x^ ce qui fournit souvent des relations remarquables et même un procédé de démonstration fréquemment usité. Concevons alors que l'on ait trouvé deux développements différents, mais à l'intérieur de contours différents (A) et (B). Pour une fonction quelconque la chose est possible, mais pour
Hosted by
une fonction restant synectique dans l'intervalle qui sépare les deux contours, elle ne l'est pas : en effet, soit (A) le contour contenant les points les plus éloignés de Forigine, à l'intérieur de ce contour la fonction et son développement sont synectiques^ si donc il y a égalité et si la fonction ne cesse pas d'être synectique dans l'intervalle qui sépare les contours (A) et (B), cette égalité subsistera encore à l'intérieur du contour (B)^ donc les deux développements de la fonction sont égaux à l'intérieur du contour (B), c'est-à-dire qu'ils se confondent en un seul.
80. CoROLLAinE I. — Des considérations précédentes il résulte quCj pour quune fonction soit développahle en série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes entières et positives de sa variable, il faut qu'elle soit synectique; mais remarquons bien une chose ^ cest qu'il ne faut pas absolument quelle soit synectique à V intérieur d'un cercle décrit de l'origine comme centre.
CouoLLAiRE IL — Pour qu'une fonction monodrome et monogène soit développable en série ordonnée suivant les puissances entières et positives de sa variable^ il faut qu^elle soit finie ^ c'est-à-dire synectique à V intérieur d^un cercle décrit de l'origine comme centre-^ au delà d'un cercle ayant son centre à V origine et passant par l'infini le plus rapproché de r origine j> elle ne sera évidemment plus développable^ car son développement cesserait d'être convergent sur la circonférence de ce cercle^ et par conséquent au delà; enfin, au delà^ il ne pourra pas exister un second développement, diaprés ce que nous avons vu,
81. Théorème V. — La fonction est développable en série ordonnée suivant les puissances croissantes de X, à l'intérieur d'un cercle décrit de ^ origine comme centre avec un rayon égal au module de z.
Hosted by
( ii5) En effet, on à identiquement
mais si x est intérieur au cercle en question, '— a pour limite o quand n tend vers oo \ donc, dans ce cas, \ \ X x"
82. Théorème VI. — Si la fonction f[x) est synectique à r intérieur d'un cercle C décrit de V origine comme centre ^ elle est développahle en série ordonnée suivant les puissances entières et positives de œ pour tous les points intérieurs à ce cercle.
En effet on a, en supposant le point x intérieur au cercle C,
mais comme la fonction jf{-z) ne devient pas infinie à l'intérieur du cercle C, on peut sans inconvénient prendre le résidu à Fintérieur de ce cercle 3 alors le module de x sera moindre que celui de z ; on pourra donc développer
la quantité sous le signe X en série, et, en appliquant
le théorème (73), il vient
c'est-à-dire /(.r) =/(o) + .r/'(o) + -fL/"(o) +...+ -£-f(o) + ....
Tel est le développement dG^f(x) : on reconnaît la for-
Hosted by
( "6) mule de Mac-Lauriii, abstraction faite de la forme gêiiaule du reste.
Le beau théorème que nous veuous de démontrer est dû à Cauchy : ce n'est pas le fleuron le moins brillant de la glorieuse couronne scientifique de ce grand géomètre.
Corollaire L - — D'après ce que nous avons vu, le développement que nous venons de trouver est le seul de cette forme ^ par conséquent, toutes les fois que la série de Mac-Laurin sera divergente au point x, la fonction /'(x) ne sera plus synectique tV l'intérieur d'un cercle décrit de l'origine avec ox comme rayon.
83. Corollaire IL — De la formule de Mac-Laurin on conclut celle de Taylor en cbangeant f{x) en f(oc-hh) ; on peut donc dire que si la foxicûon f[z) reste synectique à l'intérieur d'un cercle décrit du point x comme centre avec un rayon R, elle sera développable en série par la formule suivante dite de Taylor :
fi.v + h]=fi.v) + ^ /'(..) + -^/"(x) +. . .
pour toutes les valeurs de Ii dont le module est moindre que R.
84, Thé03iè:me ^^IL — Les formules de Taylor et de Mac- Laurin subsistent encore pour les fonctions de plusieurs variables.
En effet, considérons la fonction /"(Xi, Xg, ^s?-»») synectique à l'intérieur des cercles Ci , Câ, . . . décrits de l'origine comme centre 5 la fonction de t^
sera synectique à l'intérieur d'un cercle décrit de l'ori-
Hosted by
( "7) gine avec un rayon plus grand que i , toutes les fois que Xi, X25. . . seront respectivement contenus dans les cercles Cip C25 ... 5 et l'on aura symboliquement
n =zzo
Les puissances de D devant être remplacées par des indices de différentialion, et les différentiations effectuées, on devra faire x^t = 0^ Xgî = o, . . . ^ si Ton fait alors i= I5 on a la formule de Mac-Laurin,
Wr=QO
^MW I . 2 . * . 72
démontrée pour toutes les valeurs de Xj, 0^25- • -5 înlérieures respectivement aux cercles C^, Cg,."» La formule de Taylor s'en déduit aisément.
Application des formules précédentes »
85. Si l'on considère les fonctions e"*, sino:, cosx, ces fonctions restent synectiques dans toute Félendue du plan : on peut donc leur appliquer pour tous les points du plan la formule de Mac-Laurin, et Ton obtient
Sin.27 :
Les fonctions /(i-hx), (i + o:)'" sont synectiques à Fintérieur de cercles ayant pour rayon l'unité et pour
(1.8) centre l'origine : elles sont donc, à rintérieur de ces cercles, développables par la formule de Mac-Laurin qui donne
lil-hx) =:X -f--- — ... .,
m (m — I ) mini — i ) (m — 2) ^
Ix n'est pas synectique autour de Forigine, c'est pour cela que l'on n^ doit pas espérer pouvoir lui appliquer la formule de Mac-Laurin.
La grande difficulté pour l'application de la formule de Mac-Laurin consiste dans la formation des dérivées successives de la fonction que l'on veut développer : celle formation est souvent difficile. Nous verrons plus loin comment on peut former celles de la tangente, de la cotangente, de la sécante et de la cosécante.
86. Il y a un cas dans lequel le calcul des divers coefficients de la formule de MacrLaurin devient facile, c'est celui où la fonction satisfait à une équation différentielle dont les deux membres sont entiers par rapport à la fonction, ses dérivées et la variable.
Considérons en premier lieu la fonction arc tanga: : elle est synectique à l'intérieur d'un cercle de rayon i, décrit de l'origine comme centre*, on peut dans cet intervalle lui appliquer la formule de Mac-Laurin, et l'on a, en posant
j z=: arc tang ^,
d'où l'on tire
différentions ri fois les deux niembres en appliquant la
Hosted by
( ^'9) formule connue d'Euler sur la différen dation d'un produit, il vient
D"+'j(l -{- .r2) -{- 2/Z.2;D"j -4- 1 ^^^^"~^^ D"-'j i=:i ; puis faisons x = o, on a
^x-^oX H- 2 -^ ^' Dx=:o/ — O,
et par conséquent
/ X Pg-- :r O J Dx - O r n — I
Or, on a
Dx-3:o/ — I, Bi^o J = o;
donc, en faisant dans la formule (i) successivement n = i\ 2, 3,...,
