Di=.oj = o, 5 -D^^o/— o

donc

arc tang.^' -^.œ — — -f--^ (-.0.,

Si Ton pose

on en tire

j zzr arc sinjc,

Dj:

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et différentiant une fois cette équation,

— x{i~ œ'f ' Df -f- (i — ,x')"' D'y ■==: G ou

Différentions n fois les deux membres de cette dernière équation, il vient

en faisant x = p, on a

nSyy = B^-^^y — n[n-~ ï) D"j, ou enfin

Faisant successivement /i = i, 2, 3,.-? et observant que pour a: = O5 Dj- est égal à i et Wj égal à o^ on trouve

Or, la fonction arc sinx est synectique à l'intérieur d'un cercle dont le rayon est i et le centre l'origine; on a donc à l'intérieur de ce cercle

I x^ 1.3 x^- 1,3.5 .tP arc sm.r = x -i rr -f- 7 -p H 7-7: h . . . .

On trouverait de la inême manière et entre les mêmes limites de x

■r- i .1 x'' I . 2 . 4 «^^ (arc smxy ■=. 1 77 1 t~p -rr H- - . • .

Proposons-nous maintenant de développer sin/7ix' sui-

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vant les puîssances de sinx; voyons pour cela entre quelles limites sin77?xpeut être envisagé comme fonction synectique de sin x. Si Ton pose, pour simplifier,

sinœ=zt et sinw^zrrj^ on a

(i) j = sin w (arc sin^);

or, arc sin ^ est synectique quand j^ varie à Pintérieur d'un cercle de rayon i décrit de l'origine comme centre, et cesse de l'être en dehors de ce cercle ; il en sera de même de j^, que l'on pourra par conséquent développer par la formule de Mac-Laurin à l'intérieur de ce cercle. L'équation (i) donne

VI — ^ ou bien, éliminant entre (i) et (2) la fonction m arc sin^,

différentions encore, il vient, en divisant par Djr et mulpliant par m^,

my — tDjr -i- (i— t')I)'x 1= o;

différentiant n fois cette équation, on a

m'D'y — /D«+'j — nB"r -i- (i — /^jD^+^y __ 2/?/D"-'-'x — n{n — ï ) D" j = o ;

puis, faisant f =: o et réduisant, il vient

d'où Ton conclut

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ou sinm.

[sin;r m^ — i^ — ïT- sin-^^ I 1.2.3