COS

— m COS 777 - cosx cos^

cosmjc:= ï sm^.r H ^ — 7— sm^œ — , , , ,

Formule de Lagrange.

87. Nous allons maintenant nous occuper du développement des fonctions implicites. Nous allons à cet effet démontrer une formule remarquable donnée en 1768 par Lagrange dans les Mémoires de l'Académie de Berlin, Cette formule, à laquelle ont travaillé les plus grands géomètres de notre siècle, a été démontrée rigoureusement pour la première fois par Cauchy dans le tome VIII des Mémoires de V Académie des Sciences,

La formule de Lagrange a pour but de développer en série une racine de l'équation

-■ tm(z) rz: o^.

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( 133) OU même une fonction F quelconque de cette racine, le développement devant être effectué suivant les puissances croissantes de t.

Nous supposerons les fonctions 'c^[z) et F(^) synectiques au point x, et en désignant alors par ^ la racine cherchée, on aura (50)

le résidu pouvant être pris à l'intérieur d'un contour (A) contenant la seule racine ^, le point x et pas d'infini nide F(-s)5 ni de r:3(z).

En vertu du théorème de M. Puiseux (48), Ç sera une fonction synectique de if, tant qu'à l'intérieur du contour (A) il n'existera iji infini de ut {^), ni racine double de l'équation (i) . Cherchons la condition que doit remplir ce contour pour qu'il en soit ainsi.

A cet effets appliquons le théorème de Cauchy (47) sur la séparation des racines : en vertu de ce théorème, l'argument de z — X — tx3[z) devra varier de 2 7T quand >s aura effectué une révolution le long du contour (A). On a

arg [z — X — tu (2j] = arg(2; — x) -\- arg ( i — j •

Or, le long d'un contour contenant x, .arg [z — x) varie de 2 7T dans une révolution complète de z-^ l'argument

de I ^ devra donc rester invariable. Or, si Ton

pose

l'argument de cette quantité devient

R sin a arc Vàivd

I — R cosa

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Si Ton suppose R > i , le dénominateur i — R cosa passera par zéro ^ alors l'arc tangente passera par un multiple

de - et continuera à varier dans le même sens qu'avant son passage par - > en sorte que 1 on ne sera assure que

1 argument de i —^ ne varie pas de 27î, qu autant

que I — Rcosa ne pourra pas passer par zéro, c'està-dire qu'autant que R sera plus petit que i . En d'autres termes, tout le long du contour (A) on devra avoir

(3) ^od.î^)<..

Supposons cette condition satisfaite : on pourra alors appliquer à la fonction F (Ç) considérée comme fonction de t la formule de Mac-Laurin, et en différentiant 72 fois par rapport à t l'équation (2), il vient

alors, en appliquant la règle d'Euler sur la différentiation des produits, on a

•D:F{ç)=rF(.)(f[:-..'(.)]^^L-(i)Jl.

/2CJ

[2 — x — tzj {z)Y

puis faisant 1 = 0^

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( '^-5 ) Celle formule donne, en extrayant les résidus,

DU„F(i;) = D:.JF(^)[^(^)]''j ou ramenant tout à la caractéristique D^. ,

(4) D;'=oF(ç) = Dr-{F'(^)[t.(..)]-|.

La formule de Mac-Laurin donne immédiatement

(5) { + JlD,|r(^)[^(^)p|-h...

Telle est la formule de Lagrange, applicable pour toutes les valeurs de t telles, qu'il existe un contour le long duquel

(3) n,od/-^<i.

Lagrange et après lui Laplace ont démontré la formule (5), mais sans assigner positivement de limites aux ^valeurs de t que l'on pouvait employer. Laplace, dans un supplément à sa Mécanique céleste^ examine un cas particulier, puis il cherche la condition de convergence de la série de Lagrange et il admet que l'on peut faire usage de la formule toutes les fois qu'elle est convergente 5 nous savons aujourd'hui qu'il faut user plus modérément des séries et que la série de Mac-Laurin peut fort bien être convergente sans représenter la fonction que l'on veut développer.

Quoi qu'il en soit, toutes les fois que F(^) et îïï(z)

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( 1^6 ) seront monodiomes et monogènes dans toute l'étendue du plan, on pourra faire usage de la série de Lagrange quand on aura constaté sa convergence, ainsi que la convergence de la série obtenue en faisant F (i^) = ^^ dans cette hypothèse on a

(6) Dr=oJ;^Dr'[^W]%

( 7 ) ç ^ .^ + ,^ (^) H . . . H- j-^^ Dr ' [ ^ [x)Y H- . . . .

Admettons la convergence delà série (7) et démontrons qu'elle développe une racine de l'équation (1), celle qui pour t = o se réduit à x.

Pour de petites valeurs du module de f, la relation (3) sera toujours satisfaite, en sorte que pour les valeurs correspondantes de t la formule (7) fournira bien une racine de l'équation (1), et de plus la formule (4) donnera bien

en sorte que Ton aura par la formule de Mac-Laurin

^^^ j +^D.|.'(x)[^(..)PJH-...,

et cette formule représentera?:? (^) tant qu'elle sera convergente, quand bien même i^ne satisferait plus à l'équation (i). En effet, cette série coïncide avec celle de Mac- Laurin ; î? ((^) étant monodrome et monogène par rapport à Ç, et, par suite, par rapport à i, restera synectique tant qu'elle ne deviendra pas infinie, et la formule de Mac- Laurin pourra toujours lui être appliquée tant que cette série sera convergente, car elle cessera d'être convergente lorsque w (^) deviendra infini. Cela posé, la série (8)

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( i'-^7 ) peut s'écrire

(9) tn((;) = t^(^) + ^D.[^(^)p-l-^Di[.:.(^-)]3+...,

et, par conséquent, est convergente en même temps que (7) (elle n'en diffère que par son premier terme et le facteur t). Si à la place de ^ et t7 [jz) dans l'équation (i) on substitue alors les séries (7) et (9), on tombe sur une identité, ce qui prouve que la série (7) pourra toujours être employée lorsqu'elle sera convergente.

Passons à la série (5) : si cette série est convergente, elle représente pour de petites valeurs de t la fonction F(^) 5 mais comme elle coïncide avec la formule de Mac-Laurin, elle représentera F (Ç) tant que cette fonction restera synectique par rapport à t ainsi que ^, c'està-dire tant qu'elle restera convergente ainsi que la série (7). c, q. f. d.

Applications de la série de Lagrange.

88. La série de Lagrange permet de résoudre un grand nombre d'équations, par exemple l'équation suivante, proposée par Laplace :

qui se ramène à l'équation de Lagrange en posant

.7? + ^CT (z) = U,

d'où

et

Les équations algébriques se ramènent de bien des manières à la série de Lagrange 5 ainsi, par exemple, l'équation générale du degré n^

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peut s'écrire

On reconnaît l'équation à laquelle Lagrange a appliqué sa

formule. Ici x est nul et zsiz] éaA k — , •

Nous pouvons dans le cas actuel appliquer la formule de Lagrange tant qu'elle sera convergente, et l'on aura pour expression de la racine qui pour t:==zo devient o :

Lorsque a est très-petit, Féquation du second degré

a'z^ -+- bz -{- c z= o

se résout facilement par la série de Lagrange; en effet, on peut l'écrira sous la forme

c az^

et il vient, eii posant — y = x et — y = t^

OU

zz=.x -^ - a-} H D.*:^ -F- ... H D""' .r^",

Cette série est applicable tant qu'elle est convergente, c'est-à-dire tant que

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( ^^9 ) c'est-à-dire tant que le module de tx ou de — reste infé--

rieur à i -, elle est très-convergente quand a est très-petit

c , et développe la racine voisine de — -^ • X'autre racine sera

facile à calculer quand on aura trouvé la première.

89. Nous allons encore résoudre une équation que l'on rencontre en Astronomie -, c'est la suivante ;

(l) Z^=: X -^r- t ^\nz.

Le développement ne sera possible qu'autant qu'il existera un contour le long duquel

, sinz .

moa.t <" I.

Prenons le module de ^ — x constant, posons

cela revient à faire varier z sur un cercle de rayon r ayant son centre en x \ nous aurons

sin 2 rr: sin (.r -h a -f- P \/— I ) .

x^ dans la question qui nous occupe, est tme quantité réelle 5 par conséquent on a

mod. sin^ == - y^[(^~i^ ^ e^) cos(a -1- œ)^ -l-,[(e"~"^ -H 'e^) sin(a -h x)Y

ou mod. sinz i=r - sl{e'^^ + <?~"^^) — 2C0S i[œ -{- a).

Le maximum de cette expression sera donné par les formules suivantes, obtenues en égalant les dérivées de la

( .30 ) quantité sous le radical à zéro :

smi[x -{- a) =3:0,

d'où l'on conclut a=:oet/3r=r. Le module maximum cherché est donc

si donc r est tel que

la formule de Lagrange sera applicable à l'intérieur d'un cercle de rayon r ayant son centre en x.

On en conclut que le maximum des valeurs admîssi-

bles pour t correspond au minimum de ~ \ la valeur correspondante de r est racine de l'équation

Cette équation transcendante a été résolue par Laplace dans son Supplément à la Mécanique céleste. En substituant sa racine positive dans l'équation

on aura le maximum des valeurs admissibles pour t-^ en éliminant e*" entre les équations (2) et (3), on trouve

Laplace, à l'aide de raisonnements qui ne nous paraissent pas très-rigoureux, est arrivé à cette valeur de t en

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(,3i) exprimant que la série de Lagraiige appliquée à la formule (i) était convergente. La série de Lagrange donne pour les valeurs de t inférieures à celle que nous venons de trouver

fU

zz=zx -^t sino? H- . . . Dx sin",r -H . . . .

Nous ne nous arrêterons pas au développement de D"'^^sin"jc*5 cette question se résout facilement en remplaçant sin":t: par son développement ordonné suivant les sinus ou cosinus des multiples de x,

La grande difficulté dans les questions de résolution d'équations par les séries est la formation du terme général. Caucliy a donné diverses formules analogues à celle de Lagrange dans ses Exercices d'Analyse et de Physique mathématique^ t. II, mais elles ne nous semblent pas encore très-pratiques 5 M. Tetmayer, par des considérations indépendantes du calcul des résidus, s'est aussi occupé d'un semblable travail.

Série de Burmann.

90. Proposons-nous de développer en série une fonction d'une racine de l'équation

cette équation se ramène à celle de Lagrange en la mettant sous la forme

tz

et on a alors

ou, remplaçant t par sa valeur /(<^),

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Celte formule, due à Burmann, n'est autre que la formule de Mac-Laurin 5 elle sera vraie toutes les fois que F(^) sera une fonction synectique de f{(^) à l'intérieur d'un cercle de rayon fini décrit de l'origine comme centre. Du reste, quand on y fait f{z) = z^ on retrouve la formule de Mac-Laurin sous sa forme habituelle.

En général, l'application directe de la formule de Burmann est difficile.

Théorème de Laurent.

91 . Théorème I. — Le commandant du génie Laurent a fait connaître une formule de développement plus générale que celle de Mac-Laurin et qui peut remplacer celleci quand la fonction à dcîvelopper devient infinie pour des modules de sa variable inférieurs à ceux pour lesquels on désire le développement.

Yoici comment on peut établir cette formule : Soient R et R' les rayons de deux cercles décrits de l'origine comme centre, f{z) une fonction qui reste synectique à l'intérieur de la couronne limitée par les deux cercles en question. Nous aurons pour toute valeur de x comprise dans la couronne

le résidu qui entre 3ans cette formule (20) peut se dé-composer en deux intégrales, et l'on a

2^ Jo

Le module de x étant compris entre R et R, la première

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( .33 ) de ces intégrales se développera suivaiil les puissances croissantes, la seconde suivant les puissances décroissantes de X, et Ton aura

-j /(Re«N^-')^/9+...

I œ" i /(Re«V-') — 7= -

^'^ Jo ^^ \"."*V'-.

Telle est la formule du commandant Laurent: elle montre qu'une fonction synectique à l'intérieur d'une couronne circulaire ayant son centre à l'origine est développable à l'intérieur de cette couronne en une double série ordonnée suivant les puissances croissantes et décroissantes de sa variable.

92. Les intégrales qui entrent dans cette formule ne changent pas quand on remplace R et W par une même quanti té 7^ intermédiaire. En effet, par exemple, l'intégrale

2 7r si— V J ■

prise le long du cercle de rayon R'' tracé de l'origine comme centre. Cette intégrale ne change pas quand on prend pour contour un cercle concentrique mais de rayon moindre ou plus grand, pourvu qu'entre ces deux cer^

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( i34 ) clés f{z) ne devienne pas infini, ce qui prouve bien que Ton peut remplacer R et R' par une même valeur r comprise entre R et R', on a alors