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93. Théorème II. — Lorsque la fonction f [oc) est synèctique à V intérieur d'une couronne circulaire A ayant son centre à r origine^ elle ne peut être développée que d'une seule manière en série ordonnée suivant les puissances entières de sa variable.

En effet, supposons que Ton ait en un certain point de cette couronne

ainsi que dans le voisinage de ce point. Les deux membres de cette équation resteront égaux tant que f{x) sera synèctique et le second membre convergent. Or ce second membre reste convergent quand ^r conserve le même module, c'est-à-dire quand il varie sur un cercle ayant son centre à l'origine. Cela posé, on sait, en vertu du théorème de Laurent, cjue jf(x) est développable en série à Tintérieur de la couronne A et que le terme général de cette

série est ^"^((/ (-^)'^~"))- Cette série et la série (i) doivent donc êlre égales tout le long d'un cercle décrit de Torigine comme centre, et l'on a le long de ce cercle

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