CO

Intégrant les deux membres de cette équation le long du cercle pour lequel elle a lieu, on trouve, en appliquant le théorème (73),

Î=I1 (^-^lm^>-''))d^= —7=2 U->'aA'=;

27r y — l^J 27rv/ — l^^J

mais chaque terme des séries qui entrent dans cette équation est nul excepté un seul, et il reste

7zJ — ij ^ ind-^iJ

ce qui démontre le théorème

94. Remarque, — Cauchy avait d'abord défini les résidus autrement que nous ne l'avons fait dans ce petit Traité : il appelait résidu Aq f[x) pour la valeur x de sa variable, le coefficient de la puissance — i de [z — x) dans le développement Ae f [z) suivant les puissances entières de z — x, ou, en général, de la plus petite puissance négative de z — x\ or, la possibilité de ce développement ne peut être établie à priori y pas plus que le développement de Taylor, sur lequel Lagrange basait le calcul différentiel et Arbogast son calcul des dérivations f Du reste, (]auchy adopta plus lard l'autre définition comme plus rationnelle.

Pour établir la coïncidence des deux définitions, il

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( >36 ) suffit de me lire la fonction qui devient infinie pour z =:x sous la forme

Le coefficient — ==::. de est bien le résidu

Des séries de fractions simples.

95. Cauchy a déduit de son calcul des i^ésidus un moyen très-expéditif de décomposer une fraction rationnelle en fractions simples, et plus généralement de développer une fonction transcendante en séries de fractions simples ^ à cet effet il part de la formule

en supposant la fonction f{z) monodrome et monogène dans toute l'étendue du plan, on peut écrire la formule précédente ainsi qu'il suit :

Si alors le résidu principal ^ ( ( — ^ j ] est nul, il

restera

Cette formule contient la solution du problème 5 mais, comme on voit, elle n'est applicable qu'aux fonctions

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( '37 ) telles que

Ce résidu peut être remplacé par une intégrale prise le long d'une circonférence de rayon infini ayant son centre en x^ en sorte que l'équation (2) peut s'écrire

condition qui sera remplie si f{z) devient nul pour toutes les valeurs infinies de z-^ cette condition sera encore remplie si f{^) devient nul pour toutes les valeurs infinies de js, à l'exception de quelques valeurs en nombre fini.

Les fractions rationnelles sont précisément dans ce cas. Ainsi, cp('S) et ^{z) désignant deux fonctions entières, le degré de ^'{•2^) étant supérieur à celui de cpl^), on a

alorsj ai, a^^,.. désignant les racines de t^[z)=:Oj Pij pa 5 • • • '^^^^ ordre de multiplicité, on pourra écrire

lif] ^ r y(^) i

'li{x) . <-^ (((z — «1)^1(2;.— a2)^. ..)) -^ — ^

i j)P'-' rjfifi [ 1

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