O) 2 //Z TT

et par conséquent

ce que l'on peut écrire

^ zi=: p" I ces — h V — I sm- 1 X ( cos h \l —

ï sm-

Cos f- V — i sm 5 eleve a la puissance n, donne

cos 2f727r ou I. On voit donc que x, la racine n'^^"'^ de A, est égale à l'une des valeurs de cette racine (celle qui a le plus petit argument positif par exemple) multipliée par une quelconque des racines tz*^'"^^ de i .

Nous allons voir que les racines /2'^'"^^ de i sont au nombre de n. Par conséquent, A aura n racines n^^"^^\

D'abord il est clair que cos h sj — i sin ~ ne

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( «8 ) peut pas avoir plus de n valeurs, car si après avoir fait m égal à i, 2, 3,. . ., 72, on continue à faire croître n d'une unité, on repasse par les mêmes séries de valeurs. lî en est de même quand on fait m égal à o, — i , — 2 , —

Mais X a bien n valeurs inéerales, car tous les arcs — >

Att 677 irriT: , , • , t,y^/

i__ , — ?•'•? ont des extrémités aniereiUes et ne

sauraient avoir même sinus et même cosinus.

Les racines de l'équation binôme

jouissent de propriétés curieuses que nous ne développerons pas ici. Nous renverrons le lecteur aux Traités de Trigonométrie et d'Algèbre supérieure de M. J.-A. Serret. Nous rappellerons cependant que oc désignant Tune quelconque imaginaire d'entre elles quand n est premier, les autres peuvent se mettre sous la forme

et que, dans le cas où n n'est pas premier, elles sont encore de la même forme 5 seulement a ne sera plus Tune quelconque d'entre elles, mais une quelconque

)s h V — I sm d entre elles k étant premier

avec n ; la racine qui a le plus petit argument positif jouit de cette propriété. Le lecteur vérifiera sans peine ce théorème.

Nous concluons de là que si V-^ est une des racines ^?/^'"^' de À, les autres seront de la forme

Voyons si actuellement le calcul des radicaux réels doit s'appliquer aux radicaux imaginaires.

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Proposons-nous de multiplier y A par yB : il est clair

que VAB et VA X SjB, élevés à la puissance /?'^'"^, donnent bien AB tous deux, mais on ne peut pas conclure de là

car la racine n'^"^^ de AB a n valeurs. Ce n'est donc que dans des cas très -particuliers que l'équation précédente sera satisfaite. Si par exemple on a

"^B =.,-'"[cos (»'H-?-^) +V=Tsin {-' + —)} pour que l'on ait

il faut que

Ç/ab = 7ax7b,

VAB:

COS { (ti -h M

, 2fp -4- VJTT

+ sm w + w' H-

2(p H- VJTT

Cette équation pourra toujours être satisfaite, car AB est égal à zV (coso) -}- oo^ H- V — i sinoo H- w^ et le second membre de l'équation précédente est bien une de ses racines 72^'^'"^^

Ceci montre bien qu'il ne faut pas écrire à la légère une des valeurs de sfAB sans examiner si elle correspond bien au produit yA. yB pour les valeurs particulières de chaque facteur.

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Ainsi, par exemple, le produit

(i^ir7)x(+v/:r^)

est égal à l'une des valeurs de la racine de 2. Cette racine a deux valeurs d= y 2 : il s'agit de voir laquelle convient. Si alors on écrit y — 2, ainsi v^ y — i, comme en vertu de nos conventions y — i X V — i = — i? le produit cherché sera — y 2 : l'application de la théorie des radicaux ordinaires aurait donné + y 2.

Cependant, il esta remarquer que si ((vA)) désigne l'ensemble des valeurs de y A, on aura

((7I)).((7B)) = ((7ÏB)).

Cela résulte de la formule (i).

Nous ne pousserons pas plus loin Félude du calcul des radicaux ^ le lecteur 1 a complétera facilement par lui-même ou au moyen des Traités d'Algèbre à sa disposition.

Conclusion,

8. Je ne crois pas que la théorie des imaginaires telle qu'elle vient d'être exposée laisse le moindre vague dans l'esprit du lecteur, et je pense que nous allons pouvoir commencer quelques applications sans voir de doutes s'élever contre la vérité des théorèmes dont nous baserons la démonstration sur l'emploi du symbole V — ^ 7 cependant on peut exposer, comme l'a fait Cauchy dans ses Nouveaux Exercices d'Analyse et de Physique mathématique j, la théorie des imaginaires d'une manière, je ne dirai pas plus rigoureuse, cela n'est pas possible, mais plus frappantCj en ce sens que les symboles disparaissent.

Appelons quantités équivalentes deux quantités qui,

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divisées par P -{- i ^ donnent le même reste, et convenons d'exprimer que A et B sont équivalents au moyen de la notation

Il est clair que si i est indéterminé, l'équivalence

(i) a -\~ bi^c -\- di

revient à la double égalité

et réciproquement, de la double égalité (2) on conclut l'équivalence (1). De cette remarque on conclut que l'on peut ajouter des équivalences terme à terme, sans troubler Téquivalence, et que si l'on a

a -f- bi ^= c H- di.

a' H- hU ^ c' -4- dU, on a encore

[aa'—bb') + i[ab'-^ ba')^ [ce' — dd') + i[cd' ~~ dc'\

c'est-à-dire que l'on peut multiplier membre à membre deux équivalences en remplaçant le carré de i par — i quand la multiplication est faite.

On voit que Ton pourrait répéter sur les équivalences ce que l'on a déjà dit sur les égalités symboliques, et qu'au fond les deux théories des équivalences et des quantités imaginaires ne diffèrent que par le signe ^ qui remplace = et par la lettre i qui remplace y — i .

Pour plus de développements, voir l'ouvrage cité de Cauchy.

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