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ou bien
ou, posant simplement/' \re^y^) :=:z'F [Q]^
Telle est la propriété remarquable dont jouit une
{ '57 ) fonction sy/ieclique considérée comme fonction de son argument. Il serait intéressant de voir ce que devient le second membre de cette formule quand ^ {0)^ au lieu
d'être de la forme f \i'e^^~^)-i est une fonction quelconcjue. A cet effet, posons
17^ J,, .'^^^yJa
cette formule pourra s'écrire
UMi
COs{t — ô) -4- C0S2 (^ -
-I- cosn [t o u bi e n , obser v a n t que
~ -\- cos (t — 9) -{- , , , -\- cos/? (t— 9) — - — ^ ^
2 sm - (t — i
et posant in-h i égal à 03,
*^ " cin .
sm
Proposons-nous de voir ce que devient s„ pour n ou pour 00 = co . Nous allons passer en revue successivement plusieurs cas^ nous supposerons t et 6 réels, la fonction F (0) pouvant être réelle ou imaginaire.
i" La fonction F (^) est continue quand 9 varie de a
a c?, et sm ne passe pas par zéro sous le signe i •
Décomposons l'intégrale de la formule (s) en une somme d'autres relatives à la même fonction mais prises
entre des limites a et <7 H ? a -h - et a -\ ^ - • • ?
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___ ( '58 ) f^i l z et a -\ ? de telle sorte i\M% dans cha-
cune d'elles w varie précisément de 2 7r. On pourra
groupe, alors deux à deux, sous le signe J, les éléments
dans lesquels sinw a des valeurs égales et de signe
contraire, et, <3^ désignant la difïérence entre le module
maximum et le module minimum de •> sous
signe I , ou
sm — [t -
on aura '^
L'intégrale totale que nous clierclions aura donc un module moindre que m lois le maximum de d — ou moindre que [h — ût).max.(J5 mais d a pour limite zéro lorsque F [B) est continue et que sin [t- \ ne devient
pas nul 5 donc, dans ce cas, 5„ a pour limite zéro quand n tend vers oo .
Nous avons supposé b de la forme a -h : cela
n^aura pas lieu en général, mais on pourra toujours remplacer h par un nombre compris entre <^ et ^ et de la forme en question*, l'erreur ainsi sera infiniment petite pour Ga = <X! .
'^" Supposons maintenant t égal à l'une des limites, h
par exemple, de l'intégrale, sin passera par zéro
pour 6.=: b. Supposons qu'il ne passe que cette fois-là
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( ï^9 ) seulement par zéi^o, sous le signe / , F ((9) restant toujours continue; alors, en vertu de ce qui vient cFélre dit, on pourra remplacer la limite a par une autre b — £ infiniment voisine de è; donc, en posant
2« ,, "iauL
la formule (2) pourra s'écrire
*^" ^ -^ wsm-
Mais — reste infiniment petit ; sa valeur maxima est s.
On peut donc écrire, à un infiniment petit de Tordre £ près,
F ( ^) r '^ 'sin ]x
Sn = / -^y-y
c'est-^i-dire, en faisant foo = 00 ,
F(f) r^si
Km ^„ nz: — ^— f — ~ d^
sinfx __F(^)
En supposant toujours que sin ■ ne passe qii une
fois par zéro sous le signe 1 pour 6-=:= /?, on démontrerait
de même que pour b ==: t -i- akv:^ A étant un entier quelconque,
¥(t-\~2Jf7z)
hmsn = —
3^ Supposons maintenant ( compris cnlre a et ft,
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( '6o ) sin passera par zéro pour les valeurs de Ô comprises dans la formule
k désignant un entier tel, que t -h ikn tombe entre a et h.
Soient alors — A, — X-f-ï,...,o, i, 2,..., X' les valeurs de h satisfaisant à cette condition ; l'équation (a) pourra s'écrire, en désignant par \ dQ la quantité qui
entre sous le signe / , et par a un nombre <^ 2Tr,
il^ t~2À'iï j pi — 2A7r-ha Sn = — YdB H I Yd9.
f -\ ^ / Vr/ô-j-...,
c'est-à-dire, d'après ce que nous venons de voir,
lim^„=r F(^~ 2).7r) -h F(f — 2X —itt) H
+ F(ir)-h. . .-+-F(^-f- 2V7r).
4" Enfin, s'il arrivait que F [9) devînt discontinue pour Q = t^ par exemple, F {Q) aurait en t deux valeurs selon que l'on aurait à considérer des valeurs de 9 tendant vers î en croissant ou en décroissant. En désignant alors par Fi et Fg ces deux valeurs, la formule (3) donnerait
F — }— F lim5„=r F(/^— 2).7t) -H...H ^ -'-}-....
Si donc p et ç représentent deux nombres dont la différence est moindre on égale à 27: et t un nombre intermédiaire, on aura
Y{t)=:— / Y{B)dQ-\---\\ Y{0)cosn{i-~9)d9.
■^^ Jp ^ ^^^ Jp
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( i6i ) Telle est la formule fondamentale qui sert de base à la théorie des séries trigono métriques.
Transformations de la formule fondamentale.
103. Si, dans la formule fondamentale que nous venons de démontrer, on fait p = o et (jr == tt, ou g = 0171, on obtient les deux formules suivantes :
— / F(G)^Ô+ > - ! Y{B)cosn(t~B)dQ,
— I F(Ô)^9~i-y - I r(9)cos72(f— G)^9.
La première de ces formules a lieu pour les valeurs de t comprises entre o et tt, la seconde pour celles qui sont comprises entre o et olTC.
Si l'on pose dans la première
