Z=: TT ^ F ( TT

dans la seconde

9 nr 2 TT 5 t = 2.7r ?

elles deviennent

(û (H) coS7r/2 ~ d^ ,

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Si dans la formule (i) on donne à t des valeurs telles, que

sin — — ne passe pas par zéro quand ô varie entre o et tt,

le second membre, d'après ce que nous avons vu, devient égal à zéro; les valeurs de t comprises entre o et — tt sont dans ce cas : on a donc, pour toutes les valeurs de t comprises entre o et t:,

= — f ¥(B)dQ-^y^ - f F{Q)œs{t^Q)dO.

Si l'on ajoute ou si l'on retranche l'une de l'autre les formules (i) et (5), on trouve

I r^ ^r^°^ 2 CCS lit r ^

(6) F{t) = ~ / /(Ô)^/0+> / F(Ô)cos7?Ôr/0,

(7) F(0 = 2"^^T^ pF(9)sin/e9^0.

La formule (6) est due à Euler qui l'a trouvée par la méthode des coefficients indéterminés; la formule (y) est due à Lagrange : il Fa trouvée en généralisant sa formule d'interpolation. Après eux Fourier fit connaître un grand nombre de formules de ce genre coïncidant plus ou moins avec la formule fondamentale. Mais aucun de ces auteurs n'avait fait usage d'une analyse bien rigoureuse. Poisson, dans le Journal de V École Polytechnique j, a beaucoup perfectionné la théorie qui nous occupe. La méthode que nous avons suivie est celle que Dirichlet a indiquée dans le Journal de Crelle^ du moins à peu de chose près. Enfin, Cauchy a donné des formules encore plus générales que celles que nous venons de faire connaître, à Faide du calcul des résidus (voir t4^ livraison des Exercices de Mathématiques ou son Mémoire sur V application du Calcul des résidus à la résolution des questions de Physique mathématique) .

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Application des formules précédentes.