La formule

f -Zrh X%<^>

^rf?

permet de représenter une fonction discontinue quelconque entre des limites données de sa variable. Soit proposé par exemple de représenter la fonction égale à i -h oc quand x varie de — Z à o, et égale k i —x quand X varie de o à / : on fera d'abord |3 = /, a r= — - /, et on aura

(5) ces — (H — .r) <iH ;

faisant ensuite cf (|) égal à i 4- ^ depuis — / jusqu'à o, et à I — X depuis o jusqu'à /, on aura

(^) ces—- (Ç — .r)<i;r

(i -— ^) cos -— (H — .r) d^

i -f- r (ï^)cos^(ï-.^)r/?

En. effectuant l'intégration, on trouve

I — cosmv) cos — .

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011 a aussi

La formule {^) donne alors

, , / A.I t:.x Ll 'diva: A.I Sn.v

Cjo(.27 — I h cos--^--5^— cos— -H--^cos--— ---1-...;

la fonction (9 [x] ainsi déterminée représente les portions de droites dont les équations sont

interceptées entre les axes coordonnés, mais entre les limites — / et -h Z seulement : au delà le lieu se reproduit périodiquement. Si Ton veut éviter cet inconvénient, il suffit de considérer au lieu de cf (,x) la fonction

car le facteur qui multiplie cp (x) est égal à i quand je varie entre -i- l ei — /, et devient imaginaire pour les autres valeurs de x. Sans donner de nouveaux exemples, on conçoit comment on pourrait, à l'aide d'une équation, représenter un dessin quelconque formé de lignes mathématiquement définies.

Développement de quelques fonctions simples.