TT 1 I

2 «TT a TV a^ --h l^ «2 | 32 ^^2 | 52

et en particulier, pour a = 2z v~- 1 ,

. sec zn r=:

Hosted by

Seconde méthode pour trouver des séries trigonomé triques.

106. Lorsqu'une fonction a été développée en série ordonnée par rapport aux puissances croissantes de sa variable, il suiBt de remplacer cette variable par r[cosQ-]-s/ — I sinô), de séparer dans le résultat les parties réelles des parties imaginaires, pour obtenir un grand nombre de séries trigonométriques.

i^ On a, par exemple.

Si Ton pose z =: r{cos6 -f- \/ — i siiiô), on a

rsinO J — i -f- 1 — rcosB / , / .' \

^! ■ ~i | ^ cosô -I- i/— I smô) -f-. . .

î—2.rcosQ -\- r"" ^ v /

-f- r"(cos//Ô -f- v^— I sin729)+...,

ou cette équation se décompose en deux autres : ^sinQ

I — r rcos

I — ircosQ H- r'

- =1 rsinO -\- r"- sin 2 ô -4- . . . H- /-" sin « Ô -f- . . . , = i-l-rcosô H-^"''cos2 6H-...H-7^"cos/2Ô -4-....

Mais ces formules ne sont vraies qu'autant que ;% le module de z^ reste moindre que i.

2« On a

En posant z = r{cosO -j- v' — ■ i sin0) et opérant comme dans l'exemple précédent, on trouve pour toutes les va-

Hosted by

( i68 ) leurs de z moindres que i :

l(ï — 2rcosQ + r^) := rcosO H- — cos29 -F-. ..H cos/zô + ...j

, , rsinô . r'^ . ,^ ^" .

De celte dernière formule on tire quelquefois, en faisant 7ù B . sin2 sinnB

Ce résultat est exact, nous Pavons trouvé tout à l'heure d'une autre manière-, mais le raisonnement qui conduit à cette formule ne l'est pas. En effet, la formule (1) n'a été démontrée que pour les valeurs du module de z moindres que i; donc /' dans la formule (2) doit être supposé moindre que i. D'un autre côté, bien que le deuxième membre de la formule (i) reste encore convergent pour certaines valeurs de z dont le module est i, comme on n'a démontré (73) la continuité de la série (i) que pour les valeurs de z intérieures à son cercle de convergence, il n'est pas permis de supposer r==:i^ en passant aux limites.

Formules de Fourier.