CHAPITRE IL

DES FONGÏIONS DE VARIABLES LMAGINAIRES.

Définitions.,

9. Nous appellerons fonction dex+j^y — i une expression de la forme X -f- Y s/-— i dans laquelle X et Y sont des fonctions de x et de f^ et nous emploierons la même notation que pour les quantités réelles,

Nous dirons qu'une fonction est continue, quand à un accroissement infiniment petit quelconque de la variable correspond un accroissement infiniment petit de la fonction.

Le mot accroissement sera toujours employé pour exprimer la différence entre deux valeurs consécutives d'une même variable.

Nous appellerons valeur d'une fonction en un point dont les coordonnées sont x et j)^ la valeur de cette fonction pour la valeur x -\- j y — i de sa variable.

Traçons une courbe ou contour fermé quelconque dans le plan sur lequel nous représentons les imaginaires, et considérons une fonction f{z). Si, quel que soit le chemin suivi par le point z à l'intérieur du contour en question^ la fonction reprend constamment les mêmes valeurs aux mêmes points, on dit que la fonction f[z) est monodrome à l'intérieur de ce contour.

Si par exemple nous considérons la fonction

BOUS pouvons nous assurer qu'elle est monodrome à l'intérieur du cercle tracé de l'origine comme centre, avec un rayon égal à i , et cesse de l'être si le rayon de ce cercle dépasse l'unité; en effet, en posant

z=: r[cos9 -h s/ — isinô),

V r — ;3 = V(i — rcosÔ) H- s/ — irsinô^

ou, si Ton se rappelle que la racine d'une quantîlé a pour module la racine du module, et pour argument la moitié de l'argument de cette quantité,

sji — z = s/ï — 2/*cosô H- r'^

[I / /sinÔ

cos- I arc tan g

7 cosÔ

H- V — I sni - arc tan^

^ 2 \ ^ I +rcos0/J

Tant que le module r est inférieur à i, l'arc tangente qui entre dans ces formules variant d'une manière continue avec (9, sans que sa tangente passe par oo , ne peut

atteindre un multiple de -; les sinus et les cosinus de la

moitié de cet arc seront donc tous les mêmes pour les mêmes valeurs de ?^et des valeurs de Q différant d'un multiple de 2 71.

Si au contraire r est susceptible de croître au delà de i , l'arc tangente qui entre dans la formule précédente passe

par un multiple de -? toutes les fois que, r et 6 variant

d'une manière continue, l'égalité

I H- rcosô = G

se trouve satisfaite. Supposons, pour fixer les idées, qu'on, laisse r constant et que l'on fasse croître ô, et partons du point où l'on a = o-, cheminons sur la circonférence de

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rayon r jusqu'au point où

I H- rCOSÔ 3zr o,

alors l'arc tangente que l'on peut prendre nul pour ô =2 o devient égal à -; continuant de croître. Tare tangente

croît, passe par les valeurs — quand 1 H- 7^cos0 s'annule

une seconde fois, et ainsi de suite. On voit donc que pour 9 z=z oc et Q = 17Ï -i- a ^ ayant varié d'une manière continue, l'arc tangente en question a des valeurs différant de 27Ï -, les sinus et les cosinus de la moitié de cet arc ne seront donc pas les mêmes pour deux valeurs de 6 différant d'un multiple de 2 tt.

De cette discussion résulte que y i — -^ ne peut conserver les mêmes valeurs aux mêmes points qu'autant que le module de z est moindre que i , ce qui revient à dire que cette fonction est monodrome à Fintérieur du cercle de rayon 1 décrit de l'origine comme centre.

Des fonctions dérivées.

10. Tant que la variable doit rester réelle, la définition de la dérivée donnée par les Traités de Calcul différentiel a un sens bien précis : c'est la limite du rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement correspondant de la variable, quand ce dernier tend vers zéro. L'existence de cette limite se démontre analytiquement et indépendamment de toute hypothèse sur la réalité de la fonction. Mais quand la variable est imaginaire, cette définition présente un certain vague, une dérivée semble quelque chose de tout à fait indéterminé. En effet, si l'on considère l'expression

lim /(-^ ^ f^ + jTI y/^) -f{x -i- j y/^ j

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on conçoit qu'elle aura autant de valeurs que le rapport —9

ou, pour parler un langage plus géométrique et en rapport avec nos conventions, l'accroissement pris par une fonction en un point doit dépendre non-seulement de la grandeur absolue du déplacement de ce point, mais encore de la direction de ce déplacement.

Quoi qu'il en soit, on conçoit qu'il puisse exister des fonctions dont la dérivée en un point soit indépendante de Faccroissement infiniment petit de sa variable. Ces fonctions ont reçu le nom de fonctions monogènes.

Une fonction monodrome, monogène, finie et continue à l'intérieur d'un certain contour, est dite synectique \\ l'intérieur de ce contour. A propreriient parler, une fonction de variable imaginaire est une fonction à deux variables réelles, et même on peut dire que c'est une fonction de fonction.

Cela posé, si nous considérons la fonction

/(2)=rX+Yv/=^,

dans laquelle z représente x -{-y \j— 1 , une des dérivées de celle fonction sera

^ X H- v/~^Y dz ou

dx -\- df \j — j ou enfin, si l'on développe <iX et dY ^

dX , ^Y\ ' fdX dY , \ ,

dx ■+■ dy\j — ï Si nous voulons trouver les conditions pour que la fonc-

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tionjr(^) soit monogène, il faut exprimer que la formule précédente ne dépend pas du rapport —5 ce qui fournil la relation

^X / dY . fdX dY j—~

dx dx \ dj dy j J j

qui se décompose en deux,

dx dy

dY __ ^

dx dy

Réciproquement, quand ces deux dernières équations sont satisfaites, la fonction proposée est monogène.

H. Lorsque l'on donne la courbe le long de laquelle une variable se déplace, les fonctions monogènes ou non monogènes de cette variable ont des dérivées déterminées, et ces dérivées pourront être trouvées en appliquant les règles ordinaires du Calcul différentiel. S'agit-il, par exemple, de trouver la dérivée de/(«, t^), w et ^ étant des fonctions de ^ = a: -H j V — i ? on ^tira

f[u^u, V -f-, Ap) — f{u, V + Ap) Au

dz j y[;^^ p { /Xp — y(M)p]Ap

■4- = lim i

ou

Ap Az

df df du . df d^> dz du dz di> dz

mais dans cette formule -—5 -7- devront être remplacés

dz dz

par leurs valeurs correspondantes au déplacement dz relatif à la courbe le long de laquelle z est assujetti à se

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( '-7 ) mouvoir. Dans cette hypothèse, u et p* décrivent certaines

ri -f ri -P

courbes : alors -- ? -— devront être remplacés par leurs

du cw ^ X

valeurs relatives aux déplacements dii^ du de u et t^ le long de ces courbes. Si les fonctions m, p* ety^étaient monogènes, ces restrictions deviendraient inutiles.

Le plus souvent les fonctions que Ton considère sont monogènes ^ nous allons nous en assurer en passant en revue les fonctioiis simples.