La dérivée de z'" quand m est entier est la limite de

iz A2 )

c'est-à-dire mz"'"^^ la fonction z"' est donc monogène, ainsi par suite que toutes les fonctions entières.

Lorsque m est fractionnaire, la fonction z"' a besoin

d'être définie. Soit 772 = ^5 nous poserons par définition

Cette fonction n'est pas monodrome à l'intérieur d'un contour contenant Torigine^ en effet, si l'on pose

z == r(cosG + \j — I sinô),

on trouve

( P cos-

+ sin- Q.sJ—i

Quand z décrit une ligne fermée autour de l'origine^ l'angle varie de 2Tr, r revient au même point avec la

même valeur, donc ^s^ devient

-h 2 7r) -f- sm- (

Hosted by

( =^8) et par conséquent ne revient pas au même point avec la

même valeur*, donc z^ n'est pas monodrome à l'intérieur d'un contour contenant l'origine 5 au contraire, elle est monodrome à l'intérieur de tout contour fermé qui ne contiendra pas l'origine, car ô, dans cette hypothèse, revient à sa valeur primitive quand le point z revient à son point de départ. Posons

u •=. z' ou u^ = z^' y

différentions en faisant varier z le long d'une courbe déterminée, nous aurons

du

■.pzP-\

d'où l'on tire facilement

du

dz

-tr'

du

On voit que — est indépendant du déplacement dz^ ce qui

dz

montre que la fonction z^ est monogène.

Si le point z était à l'origine des coordonnées, on voit

que — serait ou nul ou infini, et dans ce dernier cas il y

aurait doute sur la monogénéité de la fonction, car elle pourrait acquérir des valeurs infinies différentes.

Lorsque m est négatif, on définit en posant m=.~n la fonction ^~" par l'équation

Hosted by

( ^9) d'où l'on déduit facilement

J i z= — nz-"--K

riz

En résumé, la dérivée de s'" est toujours mz'"^""^ 5 cette fonction est monogène, mais elle est monodrome seulement à l'intérieur des contours fermés qui ne contiennent pas l'origine.

13. La fonction [a -}- z)"' peut se mettre sous la forme z^"' en posant

z' z=: a -\- Zy

or z^'"- reprend la même valeur au même point quand zJ n'a pas tourné autour de l'origine. Voyons ce qui arrive quand z' tourne autour de Torigine : z est égal à z — a;

marquons les points a, — ^ et z' . D'après le principe de M. Mourey (5)^ pour avoir le point z^ il faudra composer les droites oz^ = z et z'^ = — a 5 oz représentera l'imaginaire z^ la figure oz^z — a est un parallélogramme, et lorsque z' décrit une courbe, z décrit par conséquent la même courbe transportée parallèlement à elle-même, le point o tombant en — a-^ il en résulte que quand z^ tourne ou ne tourne pas autour de l'origine, <z tourne ou ne tourne pas autour de — a -, on peut donc dire que (z + <2)'" sera monodrome tant que z ne tournera pas

( 3o) autour du point — - a^ c'est-à-dire à Fintërieur de tout contour ne contenant pas — a.

14. La fonction e^ a été définie pour les valeurs réelles de z * quand z est imaginaire, on admet comme définition la formule

(i) ga^W-i __ Ç.X (cosj + sj— I sin/).

Pour que cette définition soit rationnelle, il faut que les propriétés de l'exponentielle réelle et de l'exponentielle imaginaire soient les mêmes. Or les propriétés de l'exponentielle réelle se déduisent toutes de la formule

Nous allons la démontrer dans le cas où ^ := ^ -f-j^ y — i et 2! = x' -\~y^ \/ — I . On a

^ar+j\/:iT^^a;^+/V-i gT(^(.os/ +V^— I sinj) <?^' (cosyH-V— I sinj'), et en vertu du théorème P'", n° 6,

^x^y^zr,^^y^/\/~i __ ^x+x^ (cosj -h y H- s/— i sirij ^-j' )? c'est-à-dire

De la formule (i) on tire, en faisant x = o, e^^-' = COSJ -\- s/ — I sin j, et changeant y en — y^

g-jv'-i __ f^Q^^r — y'' — I sinj.

( 3i ) De ces deux dernières formules on lire

(3) cosj

(4) sinj

Ces deux dernières formules sont celles que l'on adopte pour définition du sinus et du cosinus quand y devient imaginaire; la tangente, la sécante, etc., se définiront par les formules

sin r , ces r

Nous ne nous arrêterons pas à vérifier les formules de la Trigonométrie à l'aide des nouvelles définitions des fonctions circulaires. Nous ferons seulement observer que les exponentielles et les fonctions circulaires directes sont monodromes dans toute l'étendue du plan. Si l'on pose

u z=z e^ z=z e^ \Q:.o% y -\- \^ — isinj), on trouve

^-^0087)//^+^ (e^'cosj)r/jH- sj~\ l ^ (e^' sin j) f/.27 + ^ (e^ sin j) r/jj

d , ^ , -, .cl

du dx

àz dx-\-df

c'est-à-dire

du ( I . \

— ■=^ e^ \ cosjK H- y — I sm/ j = e^.

La fonction e^ est donc monogène. Il serait facile de démontrer, en partant des formules (2) et (3), que le sinus, le cosinus, etc., ont même dérivée que dans le cas où l'on suppose la variable réelle. Ces fonctions sont donc monogènes.