Il reste à considérer les fonctions logarithmiques et

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circulaires inverses. Nous définirons Iz par réqualion Si l'on pose alors

lz-=: U -f- V y — I , z =r .T --h j y — I ,

on trouve

6^" (cosp» + \/ — I sin(') z= a) -\- y y/ — i , OU

jc ■= e'^ cos(^,

y rr: e^ sittf^,

d'où l'on lire

ç =: arc tang - + 2 ^ tt.

Le logarithme de x-\-js/ — i aura donc une infinité de valeurs comprises dans la formule

(i) lz=: /r-h ô v/— - I H- Q.kTzsj— I ,

r et désignant le module et l'argument de z. Les pro* priétés des logarithmes réels et imaginaires sont les mêmes, cette propriété résultant de la formule générale

Enfin on trouve facilement

dlz I

dz z

On ferait sur les fonctions arcsin^, arccos^,..., des remarques analogues 5 nous n'entrerons pas dans plus de détails à ce sujet. Avant de terminer, observons que la fonction Iz n'est pas monodrome à l'intérieur d'un con-

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(33) tour contenant l'origine. Cela résulte de la formule (i), qui montre que quand ô a varié de 2 7r, Iz a varié de 27: V — I ^ au contraire, elle est monodrome à l'intérieur de tout autre contour.

Les fonctions / (i — x)^ arcsinx, arctangx, arccoso: sont monodromes à l'intérieur de tous les contours qui ne contiennent pas le point i . Nous laissons au lecteur le soin de vérifier cette proposition.

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