SURFACES DE TOURBILLON

par les différents points de cette courbe menons les lignes de tourbillon. Leur ensemble engendrera une surface de tourbillon, qui sera simplement connexe si la courbe AB n'est pas fermée.

Traçons sur cette surface une courbe fermée C limitant une certaine aire a. L'intégrale J prise le long de G est nulle ; en elfet :

Fig. 5.

Je = r 2(^0) (/■ + m-ri + nÇ)

Or la composante normale du tourbillon t:,-\~m't\-\-nX, est nulle pour tous les éléments ofw de Taire a, qui appartient à une surface de tourbillon. Donc J = o.

13. Réciproquement : Si une surface jouit de cette propriété que l'intégrale J étendue à toute courbe fermée, tracée sur cette surface, soit nulle, c'est une surface de tourbillon. En effet :

J =zf2dui {Il 4- m-T) -|-nÇ)

Pour que cette intégrale soit nulle, quelle que soit l'aire a, il faut que

pour tous les éléments de la surface, c'est-à-dire que la composante normale du tourbillon soit nulle. La surface est donc une surface de tourbillon.

THEOREME DE HELMHOLTZ

14. Supposons qu'à l'époque t = o, nous ayons un certain nombre de molécules occupant une surface de tourbillon. Je dis qu'à une époque ^ quelconque ces molécules occuperont encore une surface de tourbillon.

En effet, d'après ce qui précède, à l'époque ^=o, l'intégrale J est nulle pour la surface occupée par ces molécules. D'après le théorème de Helmholtz, J reste constant. Cette intégrale sera donc nulle à une époque quelconque, et la surface occupée par les molécules à celte époque sera encore une surface de tourbillon.

L'intersection de deux surfaces de tourbillon est une ligne de tourbillon, et, réciproquement, par une ligne de tourbillon, on peut toujours faire passer deux surfaces de tourbillon. Considérons donc une file de molécules occupant au temps o une ligne de tourbillon C^. Au temps t cette ligne prend une certaine position G : je dis que C est aussi une ligne de tourbillon.

En effet, faisons passer par Gq deux surfaces de tourbillons,, et Sq. Au temps t ces deux surfaces deviennent S et S', ayant C pour intersection . D'après ce que nous avons vu, S et S' restent des surfaces de tourbillon: donc leur intersection G est encore une ligne de tourbillon.

15. Tubes de tourbillon. — On appelle tube de tourbillon la surface obtenue en menant par les difiérents points d'une courbe fermée les lignes de tourbillon (/î^. 6). Sur une telle surface on peut décrire deux sortes de courbes fermées.

Fig. 6.