MOMENT D UN TUBE DE TOURBILLON

Les courbes G de la premiiTe sorte délimitent à elles seules une portion d'aire sur la surface.

Les courbes de la seconde sorte, telles que DPEQ, partagent la surface en deux régions, dont aucune n'est entièrement délimitéH par la courbe DPEQ seule. Lorsqu'on développe la surface, les courbes de la première sorte, seules, se développent suivant des courbes fermées.

16. Moment d'un tube de tourbillon. — L'intégrale J prise le long d'une courbe fermée de la première sorte est nulle [12]. Mais le raisonnement ne peut plus s'appliquer aux courbes de la seconde sorte, et l'énoncé du théorème doit être modifié de la façon suivante :

L'intégrale J prise le long d'une courbe fermée de deuxième espèce a la même valeur quelle que soit cette courbe.

Soient en effet DPEQ et D'P'E'Q' deux contours fermés : il faut démontrer que :

Fig. 7.

'DPEQ

Prenons un point P sur la première courbe et un point P' sur la seconde, et joignons PP' [fig. 7). Le contour

PEQDP — PP' — P'D'Q'E'P' — P'P

peut être regardé comme un contour fermé de première espèce ; donc le long de ce contour J est nul, ou :

JPEQDP -1- JPP' -\- Jp'D'ij'E'P' -\- Jp'P = O.

La seconde et la quatrième intégrales se détruisent, PP'

étant parcouru deux fois en sens contraire. Il reste :

JpEQDP -j- JP'D'Q'E'P' = O, OU

JpEQDP = Jp'E'Q'D'P'-

L'intégrale J ainsi déterminée s'appelle le moment du tube de tourbillon.

Ce moment reste constant quand les molécules situées sur le tube se déplacent, car nous savons que J reste constant.

17. Application. — Tubes de tourbillon infiniment déliés. — Considérons un tube de tourbillon infiniment délié {fig. 8). Menons une section droite de ce tube : c'est une courbe fermée de deuxième espèce. On peut donc calculer le moment du tube en prenant l'intégrale J le long de cette section. Or :

= 2 Jc^a)^^,

comme nous l'avons vu [9], \n étant la composante normale du tourbillon. Dans le cas actuel

J = 2c?co. \,

puisque nous n'avons qu'un seul élément, auquel le tourbillon est normal, c?a) est la section droite du tube (section droite que l'on peut toujours supposer parallèle au plan deaft/s"), et \ le tourbillon lui-même. On en conclut que :

Le produit de la section droite d'un tube de tourbillon infiniment délié parle tourbillon est constant tout le long du tube. Ce produit demeure aussi constant dans le temps.