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D'autre part, nous savons que, pour obtenir l'élément de l'intégrale J, il faut multiplier l'élément d(o de l'aire A par deux fois la projection Z; -|- mr, -f~ wÇ du vecteur (?, tj, C) sur la normale. Cette projection est la composante normale du tourbillon. Si notre cercle est très petit, nous pourrons prendre son aire pour élément do), et nous aurons :

par conséquent :

(^Q est la composante normale du tourbillon.

10. Lignes de courant. —En chaque point, nous aurons donc deux vecteurs: la vitesse, qui a pour composantes w, y, zc, et le tourbillon dont les composantes sont ;,Tj,Ç.

On peut considérer des lignes qui en chacun de leurs points ont comme tangente le vecteur représentant la vitesse, et dont les équations différentielles sont par conséquent :

/,a\ dx dt/ dz

Ce sont les lignes de courant. Ces lignes ne sont pas nécessairement les trajectoires des molécules. Ce ne serait vrai que dans le cas d'un régime permanent, où la vitesse est constante.

18 THEOREME DE HELMHOLTZ

11. Lignes de tourbillon. — On peut aussi considérer les lignes qui en chacun de leurs points sont tangentes au vecteur tourbillon. Leurs équations différentielles sont :.

,.„, dx dy dz

Ce sont les lignes de tourbillon. Supposons, par exemple, la vitesse indépendante de -s' et parallèle au plan des ipy : ?<j=o, et les dérivées de m et de v par rapport à z sont nulles. Alors, d'après les équations de définition (11) [9] :

dM

^-~dy

Les équations des lignes de tourbillon deviennent :

dx dy dz

0 0 X, ou

dx = dy ^ o.

Les lignes de tourbillon sont des droites parallèles à oz.

12. Surfaces de tourbillon. — Une surface de tourbillon est une surface engendrée par des lignes de tourbillon : autrement dit, c'est une surface dont le plan tangent en chaque point passe par le tourbillon. La condition qui exprime qu'une surface /"(a?, 3/, 2^) = 0 est une surface de tourbillon sera par suite :

Considérons un arc de courbe quelconque AB [fig. 5), et