X -\- z\-\-u^dl, ... etc
Or:
Les coordonnées de M' sont donc devenues :
, y 7 1 T /)- "^^ . '^w , „ <)m\ X 4- tl iidl 4- tdt [l — -\~ -r^ - — [- ^ T— ' etc.
' ' \ cx ^ oy ^ ôzj
D'autre part, les projections de MM' étant égales à t\, et), eC, ces coordonnées sont :
En égalant ces deux expressions, il vient :
^ ' dt ?a; ' Oi/ oz
Cette relation est identique à la suivante
. di 3m 7>v i>îo
AUTRES DliMONSTRATIONS DU THÉORÈME DE IIELMHOLTZ 25
En eiïet, si nous les retranchons membre à membre :
/"du c)u\ , /'du '(>70\
ou
- 2yiC 4- 27jC = o.
La relation (15) et les deux autres qui s'en déduisent par permutation expriment le théorème de Helmhoitz, mais dans le cas des liquides exclusivement.
19. Autres démonstrations du théorème de Helmhoitz. — 1° Démonstration de Helmhoitz. — Helmhoitz cherchée obtenir les équations sous la dernière forme (15), que nous venons de leur donner, en partant des équations d'Euler.
Nous avons écrit [4] les équations de Lagrange :
du t)i|/
dl t)£c
sous une forme qui contient encore les variables de Lagrange et celles d'Euler. Pour ne laisser que les dernières, faisons la transformation :
du ^u , liu , 7)u , ^u nous obtiendrons :
,,.• ?M i><h 'bu 'hu
'bu
bt 'bx bx by bz
(17) ((2) -<=é-n^-Ty-"'^^
bt ^
~by
bw bt~
b<]^ ~bz
,„, ^^ ..y blO bw blO
Différentions l'équation (3) par rapport ky, l'équation (2) par rapport à z, et retranchons : il vient, en se rappelant la définition de Ç, yj, Cf9] :
ot ex cy ôz cy iix
^y ^y ^y ^^ ~^ "èz 'dx'^ "dz Tiy ' }fZ 'èz
D'autre part,
dt ôt ox oy ' ôz
et l'équation de continuité pour les liquides se réduit à :
2x i)y' <iz
En tenant compte de ces relations, on met aisément l'équation (4) sous la forme :
dt~^ïx^'^'^~^^J^'
Nous retrouvons bien l'équation (16). Seulement cette démonstration du théorème de Helmholtzne s'applique qu'aux liquides.
20. Démonstration de KirchhofF. — Kirchhoff prend comme point de départ les équations de Lagrange
du ^ dv 2)^ dw Sd/
dt. 'dx dt ^y dt ^z
transformées de manière à ne plus dépendre que des variables de Lagrange.
