DÉMONSTRATION DE KIRCHHOFF
Nous avons :
Multiplions la première équation de Lagrange par — > la
deuxième par -7^» la troisième par — — et ajoutons : il vient
^ dxQ dX(^
du dx dv dy , dw dz rf-|'
dt dx^ '" dt dxQ ' dt dx^ ~ dx^
et deux autres équations analogues obtenues par symétrie.
21. On peut d'ailleurs donner à ces équations une forme plus générale en substituant kx^, j/o, 2-0 trois autres variables, a, è, c, définies par trois relations qoelconques :
a. J, c ne dépendant pas de t. Les dérivées par rapport à t seront les mêmes dans les deux systèmes de variables.
Faisons la même opération que précédemment et nous trouverons :
du dx , dv dy^ dw dz d^
dt da '^ dt da dt da da
et deux autres en changeant a en è et en c. Nous aurons finalement le svstème :
^ du dx
2j'dt'dâ~
~ da
^ du dx Ijdtdb'
d-\> db
y^ du dx
2j'^dc~
de
Différentions (1) par rapport à ô, (2) par rapport à a, et retranchons :
/ dhc dx d^u dx\
^dtdh da dtda dh) ou, comme il est facile de le vérifier :
d ■^ /du dx du dx\
dt 2j\dbdâ~ dâdb) ~^'
et enfin
du dx du dx dh da da dh
(20) . dv dy dv dy
^ ' ~^ db da da dh
j dw dz dio dz
"' dh da da dh
On obtient deux autres équations analogues en permutant circulairement a, è, c et changeant la valeur de la constante.
21 his. Ces équations de Kirchhoiï sont équivalentes, comme nous allons le montrer à celle que nous avons donnée au début :
i = f udx -\- vdy -j- wdz = const.
Considérons, en effet, un point M dont les coordonnées soient [x^ ?/, z) dans le système d'Euler, ou a, h^c,t dans celui de Kirchhoff : a?, y, z varient avec t, mais a, h, c sont indépendants de t et dépendent seulement de Xq, i/o, ^o- Le point M appartient à une certaine courbe G : je puis choisir a, h, c de manière que, pour tous les points de cette courbe, c = o. Si cette condition est remplie à l'instant ^ = o, elle le sera encore à toute autre époque.
DÉMONSTRATION DK KIRCHHOFF 29
Si nous regardons pour un instant a, b comme les coordonnées rectangulaires d'un point dans un plan, à chaque point M de G correspondra un point M' du plan et, quand M décrit la courbe G, M' décrit une certaine courbe G' qui sera fermée si G est fermé ; seulement la courbe G' est fixe, tandis que la courbe G est mobile. Prenons l'intégrale
udx
le long de la courbe G :
Jc^^^=j^,r^^'' + ^'^^^)'
la seconde intégrale étant prise le long de G'. Transformons cette intégrale par la formule de Stokes [8]
£ (" fa ^^^ + '' fb '^^) =fj[i {'' f ) - I {'' î)]
la / / étant étendue à toute l'aire A' limitée par la courbe G'.
Effectuons les différentiations indiquées, il vient après
réductions:
r j / / /du dx du dx\ , ,,
Je / / \da db db da)
En opérant la même transformation sur / vdy et / lodz^ puis additionnant, nous trouverons :
L'aire A' ne varie pas, puisque G' est fixe; la S placée sous le signe / est constante en vertu de l'énoncé de Kirchhoff: donc J = const.
