CONNEXION SIMPLE ET CONNEXION MULTIPLE

Fig. 10.

proposée, il est indispensable de définir ce que nous appellerons volume à connexion simple et volume à connexion multiple: ce sont des notions dont nous aurons constamment à faire usage.

Un volume à connexion simple, ou volume simplemer' connexe est un volume qui ne présente pas de trou : eb sont la sphère, l'ellipsoïde, le cube.

Toute courbe fermée tracée dans l'intérieur d'un pareil volume peut se réduire à un point, en se déformant d'une manière continue, sans sortir du volume [fig. lOy, elle balaye alors une certaine aire A qui est exclusivement limitée par la courbe.

Nous conviendrons donc de dire qu'un volume est à connexion simple quand toute courbe fermée intérieure à ce volume peut élre regardée comme le contour d'une aire plane située tout entière à l'intérieur du volume. Si l'on adopte

cette définition le volume ^ compris entre deux sphères

concentriques est encore à connexion simple.

28. Un volume à connexion multiple est un volume qui présente un ou plusieurs trous: le nombre des trous marque l'ordre de multiplicité; tel est un tore {fig. 11).

Dans les volumes à connexion multiple on peut tracer des

Fig. 11.

courbes fermées de deux espèces ; des courbes de première espèce, comme celles que nous avons définies au paragraphe précédent, pouvant se réduire h un point sans sortir du volume. Telles seraient, dans le tore, les circonférences tracées dans un plan méridien, concentriques à l'une des circonférences méridiennes.

Des courbes de seconde espèce, qui ne peuvent se réduire à un point, par une déformation continue, sans sortir du volume : par exemple, dans un tore, les circonférences tracées dans des plans perpendiculaires à l'axe et ayant leur centre sur cet axe.

29. Ceci posé, supposons que le tourbillon soit nul. et considérons l'intégrale

: l[i(dœ -\- vdy -\- wdz).

Celle intégrale prise le long d'une courbe fermée de première espèce est nulle. En effet [9] :

\n étant la composante normale du tourbillon, c/w un élément de l'aire limitée par la courbe. Gomme par hypothèse :

Ç„ =: 0, on a J = o.

Celle proposition n'estplus vraie pour lescourbesde seconde espèce. Supposons en effet que le volume soit celui d'un tore