COUPURES

et que :

Les lignes de courants sont des cercles ayant leur centre situé sur l'axe et tracés dans des plans perpendiculaires à cet

axe.

, , - ydx — xdy , . y udx -4- vdy = - — ^ — ; — — = d arc tanc -•

I ^ X^ Jç. y^ ^ X

Cette fonction des vitesses arc tang - n'est pas uniforme,

mais elle est susceptible d'une infinité de déterminations qui diffèrent entre elles de tt. Quand nous prendrons l'intégrale J le long d'une courbe de seconde espèce, cette intégrale sera égale non pas à 0, mais à ?; ou à un multiple de t: : parce qu'en revenant au point de départ on retrouve une autre détermination de la fonction.

30. Coupures. — Lorsqu'un volume est à connexion multiple, il est possible de le rendre simplement connexe en pratiquant des coupures. Si en particulier le volume est doublement connexe, il suffit de faire une seule coupure. Par exemple, un tore peut être rendu simplement connexe en le coupant le long d'un de ses cercles méridiens.

Les courbes qui ne traversent pas la coupure seront de première espèce; les courbes qui traversent la coupure seront de deuxième espèce.

La fonction des vitesses reste uniforme tant qu'on ne traverse pas la coupure, et l'intégrale J prise le long d'une courbe qui ne traverse pas la coupure est nulle.

Considérons au contraire deux points infiniment voisins l'un

de l'autre, et infiniment voisins de la coupure, mais situés de part et d'autre de celte coupure : d'un de ces points à l'autre la fonction des vitesses présente une discontinuité ; la différence des valeurs qu'elle prend en ces deux points est finie et égale à la valeur de l'intégrale J prise le long d'une courbe de deuxième espèce reliant les deux points.

31. Théorème, — Cette différence est constante, autrement dit la valeur de l'intégrale J est la même pour toutes les courbes d'intégration qui traversent une seule fois la coupure.

y^- — --?^\ Supposons, en effet, que la courbe G

! .' ,'\- \ •. '\\ se déforme d'une manière continue,

j ; ( . I ; ; sans sortir du volume et devienne par

\ \ -, V y .■ : exemple telle que G' [fig. 12). Pendant

\^-. .y, ..--^^ cette déformation, la courbe G balaye Fig. 12. une certaine aire qui est tout entière

située à l'intérieur du volume.

L'intégrale J prise le long du contour complet de cette aire GG' est nulle.

Seulement les deux courbes G et G' sont parcourues en sens contraire, donc:

Je — Je = o ou

Je = Je-

La valeur de la discontinuité de la fonction cp des vitesses d'un bord à l'autre de la coupure est donc la même en tous les points de cette coupure: soit A sa valeur.

Si la courbe de deuxième espèce suivant laquelle on fait