LIQUIDE OCCUPANT UN ESPACE INDÉFINI

en posant comme d'habitude :

c)^Œ, <)^Cp Ô^d-

34. Théorème, — Il y a deux cas où ces conditions ne peuvent être remplies sans que le liquide soit en repos.

1° Quand le liquide remplit l'espace indéfini et se trouve en repos à l'infini ;

2° Quand le liquide remplit entièrement un vase solide, fermé et simplement connexe.

Nous démontrerons ces deux propositions en nous appuyant sur le théorème de Green, qui s'exprime par l'équation:

L'intégrale du premier membre est étendue à tous les éléments dbi d'une surface fermée; les deux autres, à tous les

éléments d-: du volume limité par cette surface. ^ est la dérivée de <sj, estimée suivant la normale à la surface au centre de gravité de l'élément doi. Ici c'est la projection de la vitesse sur cette normale. La fonction tp doit être uniforme à l'intérieur du volume t.

35. Liquide occupant un espace indéfini. — Appliquons le théorème de Green à une sphère de rayon très grand.

Comme nous supposons que le liquide est en repos à l'infini, -2 sera nul sur toute la surface de cette sphère; l'intédn

grale du premier membre sera nulle. La première intégrale du second membre est aussi nulle, puisque A^= o ; par

conséquent il en est de même de la dernière:

L'élément diflérenliel est essentiellement positif, c'est une somme de carrés; cette égalité entraîne donc les suivantes:

Dq; dcp dq>

Da; ^y Tiz '

ou

La vitesse est donc nulle.

36. Liquide remplissant complètement un vase immobile. — 1° Vase simplement connexe. — Appliquons encore le théorème de Green : en choisissant pour la surface d'intégration la surface des parois du vase, et pour le volume, le volume du vase. Puisque la paroi est immobile, la vitesse du liquide en un point de cette paroi ne peut être que tan-

gentielle, et la composante normale —^ est nulle; donc :

fcp r-*- ao) = o;

comme A^ = o,

l(f\fd'ç = o, et par conséquent :

fm'+c^ï^m>-