VASE DOUBLEMENT CONNEXE

On en déduit comme ci-dessus :

t)(^ <)o iz ^x 7*y i)ï,

La vitesse est donc nulle en tous les points,

37. Le raisonnement qui précède n'a de valeur que pour un volume simplement connexe. Si le vase était à connexion multiple, la l'onction » ne serait plus uniforme, et le théorème de Green cesserait d'être applicable.

38. 2° Vase doublement connexe. — Supposons que le vase soit doublement connexe, et par exemple qu'il ait la forme d'un tore. Pratiquons une coupure suivant un cercle méridien: les courbes fermées de seconde espèce rencontreront cette coupure. La fonction des vitesses cp est uniforme tant qu'on ne traverse pas cette coupure; mais d'un bord à l'autre, la fonction ci présente une discontinuité qui est constante sur toute la surface de la coupure.

Je dis que, si on se donne cette constante, autrement dit la valeur de J le long d'une courbe de seconde espèce, le mouvement du liquide est entièrement déterminé.

Supposons, en effet, qu'il }- ait deux solutions possibles, et soient œ' et cp" les deux fonctions des vitesses correspondant à ces solutions ; soient ci,,' et cp2 les valeurs de (p'de part et d'autre de la coupure, ^'[ et cpa celles de cp". Nous aurons :

«pi — «pa = J()

Jq étant la constante donnée; tant qu'on ne traverse pas la coupure, ^' et <p" sont d'ailleurs uniformes. Retranchons

44 DÉTERMINATION DES COMPOSANTES DE LA VITESSE membre à membre les deux équations ci-dessus, il vient:

?i — Î4 — ?i ~ Ta-

La fonction cp' — cp" a donc même valeur de part et d'autre de la coupure, elle est uniforme et continue dans tout le volume, et on peut lui appliquer le théorème de Green ; on en déduira:

<)cp' 3©' ?<p' c><p ?cp Dœ"

t'a; 7>x ciiy i^y 7^z ^z

Les composantes de la vitesse sont les mêmes dans les deux cas: il y a donc un seul mouvement possible.

39, 3" Vase triplement connexe. — Il faut faire dans ce cas deux coupures pour rendre le volume simplement connexe.

Le mouvement est déterminé quand on se donne :

cp, — - Cpj = Jo cp3 — cp4 = J,

tp, — ag étant la différence des valeurs de cp sur les deux bords delà première coupure, cpg — cp^ cette différence relativement à la seconde coupure.

On trouverait comme précédemment, en admettant qu'il existe deux solutions cp' et cp" :

?i — ?» — ?(— Ta

La fonction cp' — ç" étant uniforme et continue à l'intérieur

I,E TOURHILLU.N N LST l'AS MJL 45

du volume, on déduit du théorème de Green:

cp' — cp" = const.

ou :

40. Le tourbillon n'est pas nul. — Dans le cas un le tourbillon n'est pas nul, le problème de Helmholtz est déterminé et, s'il admet une solution, n'en admet qu'une seule.

EnelFel, (juel est ce problème? Il s'agit, étant données les composantes l, yj, Ç du tourbillon, de déterminer u, t\ lo d'après les équations:

os ^"'

'du c*y

oz ex

c'a? oy

Tfu j^^^ j^ ^''^

Supposons que nous ayons trouvé deux solutions

u :== u' u = II'

V z= v' V = v" 10 = lO' 10 = lo"

Nous aurons

^^ - ly -èz

d'où :

^{w' — lo") ?(u' — v")

et deux autres équations analogues. Ces trois e'quations expriment que la somme

(il — u") dx 4" C»^' — v") dy -(- [lo' — w") dz

est une difFérentielle exacte f/cp. On peut donc poser :

n'-u" = ^^ etc.

Ecrivons que l'équalion de continuité est satisfaite pour w= ?/ etc., etpourî<=: xî' etc., il vient :

jm^ùX .^-J ÙX

d'où, en retranchant membre à membre :

S-ii[u' — u") -bx ~ ^' c'est-à-dire :

Si le vase est entièrement remi)li, la composante normale de la vitesse doit être nulle en chaque point de la jiaroi. Soient /, m, p les cosinus directeurs de la normale en un point de la paroi, la composante normale de la vitesse sera:

lu •\- nvù -\- pio,

et si cette composante est nulle :

lu' -f- »îu' -j- pw' = o lu" -\- 7nv" -{- pio" = 0

LK TOUUBlLLOiN .N*EST PAS NUL 47

Par conséquent :

Si le vase est à connexion simple, nous trouverons, en raisonnant comme ci-dessus [36] :

cp =: const.

1)3) 7)ii ?a/ t>cr t^y ^s

ou :

Le problème ne comporte donc qu'une seule solution.

41. Supposons que le vase soit à connexion muUiple, le raisonnement précédent n'est plus légitime ; il faut introduire une ou plusieurs conditions de plus.

Soit, par exemple, un voluQie doublement connexe. Pratiquons une coupure, et soit J^, la valeur de l'intégrale prise le long d'une courbe fermée qui traverse une seule fois la coupure.

Le problème sera déterminé si on se donne, outre lesvaleurs de^, 71, C, celle de J^.

Supposons, en effet, qu'il puisse exister deux solutions, (m', u', w) et [u", u", 10"), nous démontrerions comme plus haut [38] que:

ôx oy oi

•-^- =0 Aï. = o.

on '

D'autre part :

/ i^'dx -\- v'dy -j- io"dz = J^ / n"dx -\- o'dy -j- io"dz = J^^ et en retranchant membre à membre :

/ ofcp = o.

La fonction cp reste donc uniforme, même quand on supprime la coupure ; elle doit se réduire à une constante : par conséquent:

3cp I II , I,

r-î- = ît — t< = 0 OU ît = M , etc.

42. Si le volume était triplement connexe, il faudrait pratiquer deux coupures. Pour déterminer le problème, il est nécessaire de se donner, outre les valeursde ?, -/j, C» la valeur J^ de l'intégrale J prise le long d'une courbe fermée rencontrant une fois la première coupure seulement et sa valeur J^ le long d'une courbe fermée, rencontrant une fois la deuxième coupure seule.

43. Analogie des équations hydrodynamiques de Helmholtz et des équations électrodynamiques de Maxwell. — 1° Supposons que le liquide considéré occupe un espace indéfini et soit en repos.